Bài 15: CMR:
$\dfrac{a+b}{ab+c^{2}}+\dfrac{b+c}{bc+a^{2}}+\dfrac{c+a}{ca+b^{2}}\leq \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$
Bài 16: Cho $a, b, c> 0$. CMR:
$\sqrt{\dfrac{a+b}{c}}+\sqrt{\dfrac{b+c}{a}}+\sqrt{\dfrac{c+a}{b}}\geq 2\left ( \sqrt{\dfrac{c}{a+b}}+\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}} \right )$

mabelpines đã viết:Thêm vài bài nha
Bài 3: Cho a, b là 2 số thực dương thỏa $2(a^{2}+b^{2})+ab=(a+b)(ab+2)$
Tìm GTNN của $P=4\left ( \dfrac{a^{3}}{b^{3}}+\dfrac{b^{3}}{a^{3}}\right )+9\left ( \dfrac{a^{2}}{b^{2}}+\dfrac{b^{2}}{a^{2}} \right )$
Bài 4: Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa $a+b+c=1$
Tìm GTNN của $P=3(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})+3(ab+bc+ca)+2\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Bài 17: Cho $a, b, c> 0$ thoả mãn $a+b+c=1$. CMR:
$4\left ( \dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+ \dfrac{1}{c+a}\right )\leq \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+9$

Đinh Xuân Hùng đã viết:

Bài 14: (Sáng tác-Đinh Xuân Hùng)Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $xyz+4\geq 2(x+y+z)$.Tìm GTLN của biểu thức:$$\dfrac{\sqrt{2x^2-4x+4}+\sqrt{2y^2-4y+4}+\sqrt{2z^2-4z+4}}{2(x+y+z)^2}+\dfrac{9}{xyz+4}$$

Bài 18: Cho $a,b,c >0$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng: $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \leq a+b+c$




Lưu ý: Bạn là ĐHV mà lại không biết gõ Latex. Viết tắt trong đề bài

๖ۣۜTFM_๖ۣۜDragon đã viết:Bài 17: Cho $a, b, c> 0$ thoả mãn $a+b+c=1$. CMR:
$4\left ( \dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+ \dfrac{1}{c+a}\right )\leq \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+9$

Trần Anh Tuấn đã viết:Mà:$4\left( \dfrac { c }{ a+b } +\dfrac { a }{ b+c } +\dfrac { b }{ c+a }  \right) \le \left( \dfrac { c }{ a } +\dfrac { c }{ b } +\dfrac { a }{ b } +\dfrac { a }{ c } +\dfrac { b }{ a } +\dfrac { b }{ c }  \right) =\dfrac { c+b }{ a } +\dfrac { a+b }{ c } +\dfrac { a+c }{ b } \\$
$=>$dfcm

๖ۣۜTFM_๖ۣۜDragon đã viết:

Trần Anh Tuấn đã viết:Mà:$4\left( \dfrac { c }{ a+b } +\dfrac { a }{ b+c } +\dfrac { b }{ c+a }  \right) \le \left( \dfrac { c }{ a } +\dfrac { c }{ b } +\dfrac { a }{ b } +\dfrac { a }{ c } +\dfrac { b }{ a } +\dfrac { b }{ c }  \right) =\dfrac { c+b }{ a } +\dfrac { a+b }{ c } +\dfrac { a+c }{ b } \\$
$=>$dfcm

Bạn hãy giải thích rõ hơn đoạn này đi?

Bài 18.Cho $a,b,c >0$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng: $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \leq a+b+c$

Bất đẳng thức $ \Leftrightarrow 2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)+a^4+b^4+c^4\leq 2\left(a+b+c\right)+a^4+b^4+c^4$
                  $\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\leq 2\left(a+b+c\right)+a^4+b^4+c^4$
Mà theo bất đẳng thức $AM-GM$ ta có: $a^4+a+a\geq 3a^2$
Chứng minh tương tự và cộng lại ta được:$2\left(a+b+c\right)+a^4+b^4+c^4 \geq 3\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2$

Lưu ý:- Mình đã nhắc và sửa cho bạn không biết bao nhiêu lần. Bạn nên học lại Latex
         +Dấu suy ra thay vì dùng "=>" hãy dùng "\Rightarrow" $\Rightarrow$
         +Dấu tương đương thay vì dùng "<=>" hãy dùng "\Leftrightarrow" $\Leftrightarrow$
         +Nút hỗ trợ gõ latex trên diễn đàn chỉ dùng để gõ công thức toán học. Muốn gõ chữ thì không được dùng nút đó
         +Khi làm bài không nên viết tắt quá nhiều.

Bài 19: Cho $a,b,c>0$ và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. Chứng minh rằng:
$\dfrac{a^{3}}{\sqrt{b^{2}+3}}+\dfrac{b^{3}}{\sqrt{c^{2}+3}}+\dfrac{c^{3}}{\sqrt{a^{2}+3}}\geq \dfrac{3}{2}$
P/s: Giải bằng 2 cách!

Trần Lộc Nguyên đã viết:Bài 19: Cho $a,b,c>0$ và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. Chứng minh rằng:
$\dfrac{a^{3}}{\sqrt{b^{2}+3}}+\dfrac{b^{3}}{\sqrt{c^{2}+3}}+\dfrac{c^{3}}{\sqrt{a^{2}+3}}\geq \dfrac{3}{2}$

๖ۣۜTFM_๖ۣۜDragon đã viết:

Trần Lộc Nguyên đã viết:Bài 19: Cho $a,b,c>0$ và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. Chứng minh rằng:
$\dfrac{a^{3}}{\sqrt{b^{2}+3}}+\dfrac{b^{3}}{\sqrt{c^{2}+3}}+\dfrac{c^{3}}{\sqrt{a^{2}+3}}\geq \dfrac{3}{2}$

Ta có:
$\sum \dfrac{a^{3}}{\sqrt{b^{2}+3}}=\sum \dfrac{a^{4}}{a\sqrt{b^{2}+3}}\geq \dfrac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\sum a\sqrt{b^{2}+3}}$
Mà $(\sum a\sqrt{b^{2}+3})^{2}\leq (a^{2}+b^{2}+c^{2})(a^{2}+b^{2}+c^{2}+9)=36$
$\Rightarrow VT\geq \dfrac{3^{2}}{6}=\dfrac{3}{2}$

Bài 20: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $a+b+c=3$. Tìm Max của biểu thức:
$\dfrac{1}{2+a^{2}+b^{2}}+\dfrac{1}{2+b^{2}+c^{2}}+\dfrac{1}{2+c^{2}+a^{2}}$

Bài 21: Cho $x, y, z> 0$. CMR:
$\dfrac{x^{3}}{y^{3}+z^{3}}+\dfrac{y^{3}}{z^{3}+x^{3}}+\dfrac{z^{3}}{x^{3}+y^{3}}\geq \dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}$

๖ۣۜTFM_๖ۣۜDragon đã viết:Bài 21: Cho $x, y, z> 0$. CMR:
$\dfrac{x^{3}}{y^{3}+z^{3}}+\dfrac{y^{3}}{z^{3}+x^{3}}+\dfrac{z^{3}}{x^{3}+y^{3}}\geq \dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}$

Trần Lộc Nguyên đã viết:Bài 20: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $a+b+c=3$. Tìm Max của biểu thức:
$\dfrac{1}{2+a^{2}+b^{2}}+\dfrac{1}{2+b^{2}+c^{2}}+\dfrac{1}{2+c^{2}+a^{2}}$

Bài 22: Với a,b,c >0; n ∈ N*.CMR:
$\dfrac{a^{n}}{b+c}+\dfrac{b^{n}}{a+c}+\dfrac{c^{n}}{a+b}\geq \dfrac{3}{2}\left ( \dfrac{a^{n}+b^{n}+c^{n}}{a+b+c} \right )$.
Bài 23: Cho a,b,c $\geq$ 0 thỏa mãn $a^2+b^2+c^2= 1$. Tìm GTNN của:
P= $\dfrac{a}{1+bc}+\dfrac{b}{1+ca}+\dfrac{c}{1+ab}$
P/s: Các mem lưu ý cách trình bày bài, lời giải có thể ngắn gọn nhưng súc tích, dể hiểu, tốt hơn hết nên ghi đầy đủ cách giải ra. Xin cảm ơn!

Bài 24: Cho các số thực dương $a,b,c$  thõa mãn: $ab+bc+ca=3abc$
Tìm giá trị lớn nhất của: $\dfrac{2}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{2}{c+a}+\dfrac{3}{\sqrt[3]{abc}}$

Trần Lộc Nguyên đã viết:Bài 24: Cho các số thực dương $a,b,c$  thõa mãn: $ab+bc+ca=3abc$
Tìm giá trị lớn nhất của: $\dfrac{2}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{2}{c+a}+\dfrac{3}{\sqrt[3]{abc}}$

Trần Lộc Nguyên đã viết:Bài 23: Cho a,b,c $\geq$ 0 thỏa mãn $a^2+b^2+c^2= 1$. Tìm GTNN của:
P= $\dfrac{a}{1+bc}+\dfrac{b}{1+ca}+\dfrac{c}{1+ab}$
P/s: Các mem lưu ý cách trình bày bài, lời giải có thể ngắn gọn nhưng súc tích, dể hiểu, tốt hơn hết nên ghi đầy đủ cách giải ra. Xin cảm ơn!

๖ۣۜTFM_๖ۣۜDragon đã viết:

Trần Lộc Nguyên đã viết:Bài 23: Cho a,b,c $\geq$ 0 thỏa mãn $a^2+b^2+c^2= 1$. Tìm GTNN của:
P= $\dfrac{a}{1+bc}+\dfrac{b}{1+ca}+\dfrac{c}{1+ab}$
P/s: Các mem lưu ý cách trình bày bài, lời giải có thể ngắn gọn nhưng súc tích, dể hiểu, tốt hơn hết nên ghi đầy đủ cách giải ra. Xin cảm ơn!

Cách làm này không được tự nhiên lắm
$P=\sum \dfrac{a^{2}}{a+abc}$
Vì dự đoán được dấu = xảy ra khi 2 số = 0 và số còn lại = 1 nên ta c/m:
$\dfrac{a^{2}}{a+abc}\geq a^{2}\Leftrightarrow a+abc\leq 1$
$\Leftrightarrow 1-a-abc\geq 0$
Ta có: $1-a-abc\geq 1-a-a.\dfrac{1-a^{2}}{2}=(a-1)^{2}(a+2)\geq 0$(luôn đúng)
$\Rightarrow P\geq 1$

Bài 25 : Chứng minh với mọi số thực $a$ ta luôn có :
$\sqrt{a^{2}+a+1}+\sqrt{a^{2}-a+1}\geq 2$

Bài 26  : Chứng minh rằng với mọi $a;b\epsilon \mathbb{R}$ luôn có
$\dfrac{a+b}{2}.\dfrac{a^{2}+b^{2}}{2}.\dfrac{a^{3}+b^{3}}{2}\leq \dfrac{a^{6}+b^{6}}{2}$

Chúc TOPIC phát triển

Bài 27: Cho $x, y, z\geq 0$ thoả mãn $x+y+z=3$. CMR:
$\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{z+x}\ge 2\left(\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{y+3}+\dfrac{1}{z+3}\right)$

๖ۣۜTFM_๖ۣۜDragon đã viết:Bài 27: Cho $x, y, z\geq 0$ thoả mãn $x+y+z=3$. CMR:
$\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{z+x}\ge 2\left(\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{y+3}+\dfrac{1}{z+3}\right)$