Đề thi chọn đội tuyển thành phố Hà Nội 22/10/2015.

KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2015-2016
Ngày thi : 02/10/2015
Thời gian làm bài : 180 phút
( Đề thi gồm 01 trang )

Bài I: (3,0 điểm)
Cho hàm số $y=x^{3}+3x^{2}$, có đồ thị ($C$). Tìm trên trục hoành các điểm mà từ đó kẻ được đến đồ thị ($C$) ba tiếp tuyến phân biệt, trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau

Bài II: (5,0 điểm)
1) Giải phương trình $2\sqrt{-2x^{2}+5x+7}=x^{3}-3x^{2}-x+12$
2) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x^{3}+xy^{2}=y^{6}+y^{4} \\ 3\sqrt{7+2x^{2}}+\sqrt{3-2y^{4}}=10 \end{matrix}\right.$

Bài III: (3,0 điểm)
Cho $a;b;c$ là ba cạnh của tam giác có chu vi bằng $1$ . Chứng minh
$4.\sum \frac{1}{a+b} \leq (\sum \frac{1}{a})+9$

Bài IV: (5,0 điểm)
Cho hai tia $Ax;By$ chéo nhau, có $AB$ là đoạn vuông góc chung. Điểm $M$ di động trên tia $Ax$ ($M$ khác $A$), điểm $N$ di động trên tia $By$ ($N$ khác $B$) sao cho $AM+BN=MN$. Gọi $O$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$, $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên $MN$ .
1) Chứng minh $HM=AM$ và $HN=BN$
2) Chứng minh $H$ thuộc một đường tròn cố định.

Bài V: (4,0 điểm)
Cho dãy số ($x_{n}$) xác định bởi $\left\{\begin{matrix}x_1=1 \\ x_{n+1}=x_n^{2016}+x_n,n=1,2,... \end{matrix}\right.$
Xét dãy số ($y_n$) với $y_n=\frac{x_1^{2015}}{x_2}+\frac{x_2^{2015}}{x_3}+....+\frac{x_n^{2015}}{x_n+1},n=1,2,...$
1) Chứng minh $y_n=1-\frac{1}{x_{n+1}}$
2) Tìm $lim$ $y_n$