Đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn Toán tỉnh Ninh Bình năm 2015-2016.Nguồn:VMF

Câu 2 :
 Gọi d = (16n+9 ; 9n + 16 )
$\rightarrow [ 16.(9n + 16) - 9.(16n + 9) ] \vdots d$
$\rightarrow  175=5.5.7  \vdots$ d
Lại có : (n-1) không chia hết cho 5 nên (9n+16) không chia hết cho 5
$\rightarrow$ 5 không chia hết cho d
$\rightarrow$ 7 chia hết cho d
Xét trường hợp 1 :
(n - 6) không chia hết cho 7
Khi đó (9n+16) không chia hết cho 7
$\rightarrow$ d=1
Khi đó để $\sqrt{\dfrac{9n+16}{16n+9}}$  là số hữu tỷ khi (9n + 16) và (16n+9) là số chính phương
 giả sử: $9n + 16 = a^{2}$ và $16n + 9 = b^{2}$ với a,b là số nguyên dương
$\rightarrow 16a^{2} - 9b^{2} = 175$
$\rightarrow (4a-3b)(4a+3b) = 1.175 = 5.35 = 7.25$
$\rightarrow$ a = 29 và b= 22  $\rightarrow$ n=52 (thỏa mãn)
hoặc a = 5 và b= 5  $\rightarrow$ n=1 (loại)
hoặc a=4 và b=3 $\rightarrow$ n=0 ( loại )
Xét trường hợp 2:
(n-6) chia hết cho 7
khi đó (9n+16) và (16n+9) chia hết cho 7
$\rightarrow$ d=7
đặt n = 7k + 6

$\rightarrow \dfrac{9n+16}{16n+9} = \dfrac{9k+10}{16k +15}$

$\rightarrow$ $\sqrt{\dfrac{9n+16}{16n+9}}$  là số hữu tỷ khi (9k+10) và (16k + 15) là số chính phương
giải tương tự trường hợp trên $\rightarrow$ vô nghiệm
Vậy n = 52 là nghiệm duy nhất

Câu 4:
$f(f(x-y)) = f(x) - f(y) + f(x).f(y) - xy$ (1)
Giả sử tồn tại hàm $f$ thỏa mãn đề bài
Xét $f$ hằng . Giả sử $f(x) = c$ với mọi x
thay $f(x) = c$ vào (1) ta được : $c = c^{2} -xy$ với mọi x,y thuộc R
$\rightarrow$ Vô lí
$\rightarrow f$ khác hằng
Thay $x=y=0$ vào (1) ta được: $f(f(0)) = f(0)^{2}$
Thay y=x vào (1) ta được: $f(f(0)) = f(x)^{2} -x^{2}\rightarrow f(x)^{2} = x^{2} + f(0)^{2}$  với mọi x thuộc R (2)
$\rightarrow f(x)^2 = f(-x)^2$ với mọi x thuộc R
$\rightarrow f(x) = f(-x)$ hoặc $f(x) = -f(-x)$ với mọi x thuộc R
Thay y=0 vào (1) ta được $f(f(x)) = f(x) - f(0) + f(x).f(0)$ với mọi x thuộc R  (3)
Thay x=0, y =-x vào (1) ta được $f(f(x))= f(0) - f(-x) +f(0).f(-x)$ với mọi x thuộc R (4)
Từ (3) & (4) ta có: $f(x) + f(-x) + f(0). [ f(x)- f(-x)] = 2.f(0)$ với mọi x thuộc R (5)
Xét trường hợp f(x) = f(-x) với mọi x thuộc R
Thay vào (5) ta có f(x) = f(0) ( vô lí vì f khác hằng )
$\rightarrow f(x) = -f(-x)$ với mọi x thuộc R
Thay f(x)=-f(-x) vào (5) ta được: $f(0).f(x)=f(0)$
$\rightarrow f(0) =0$ ( do f khác hằng )
Thay $f(0) = 0$ vào (2) ta được $f(x)^{2} = x^{2}$
$\rightarrow f(x) = x$ hoặc $f(x)=-x$
Giả sử tồn tại $x_0 # 0$ thỏa mãn $f(x_0)=-x_0$
Thay $x=x_0$ vào (3) ta được $f(f(x0))=f(x0)\rightarrow x_0 =0$ ( trái với điều giả sử )
$\rightarrow f(x) = x$ với mọi x thuộc R
Thử lại vào (1) ta thấy thỏa mãn
Vậy $f(x) = x$ với mọi x thuộc R là nghiệm duy nhất của phương trình hàm

Câu này đơn giản chỉ có dùng 2 BĐT quen thuộc đó là AM-GM và C-S  
Ta có: Ta có: $(a-c)(b+c)$
$\leq 2\sqrt{(a^{2}+c^{2})(b^{2}+d^{2})}$
$=2\sqrt{(\sqrt{2}-1)(a^{2}+c^{2})(\sqrt{2}+1)(b^{2}+d^{2})}$
$\leq (\sqrt{2}-1)(a^{2}+c^{2})+(\sqrt{2}+1)(b^{2}+d^{2})$
$=(\sqrt{2}-1)(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})+2(b^{2}+d^{2})$
$\leq (\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)+2b^{2}+2d^{2}$
$=1+2b^{2}+2d^{2}$
(đpcm)