$5(ab+bc+ca)(a+b+c)\geq (a+b+c)^{3}+18abc$

Thiếu Úy

Nhóm : ĐHV môn Toán
Tổng số bài gửi : 144
Điểm viết bài : 291
Điểm nội dung : 57
Tuổi : 24
Đến từ : THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Bình Định

Posted Wed Oct 21, 2015 10:25 pm

Cho a, b, c là 3 cạnh 1 tam giác. CMR
$5(ab+bc+ca)(a+b+c)\geq (a+b+c)^{3}+18abc$

Phó Tư Lệnh

Nhóm : ĐHV Tổng Hợp
Tổng số bài gửi : 25
Điểm viết bài : 65
Điểm nội dung : 36
Tuổi : 23
Đến từ : THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp - Quảng Bình

Posted Thu Oct 22, 2015 4:17 am

mabelpines đã viết:Cho a, b, c là 3 cạnh 1 tam giác. CMR
$5(ab+bc+ca)(a+b+c)\geq (a+b+c)^{3}+18abc$

Có ở đây http://artofproblemsolving.com/community/u258601h1153952p5468873

Thiếu Úy

Nhóm : ĐHV môn Toán
Tổng số bài gửi : 144
Điểm viết bài : 291
Điểm nội dung : 57
Tuổi : 24
Đến từ : THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Bình Định

Posted Sun Nov 15, 2015 3:21 pm

hoanglong2k đã viết:

mabelpines đã viết:Cho a, b, c là 3 cạnh 1 tam giác. CMR
$5(ab+bc+ca)(a+b+c)\geq (a+b+c)^{3}+18abc$

Có ở đây http://artofproblemsolving.com/community/u258601h1153952p5468873

After homogenizing, the inequality equivalent to
$$5(a+b+c)(ab+bc+ca)\geq (a+b+c)^3+18abc\Leftrightarrow 2[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)]\geq a^3+b^3+c^3+9abc$$Setting $a=x+y;b=y+z;c=z+x$ and expanding, we get :
$$x^3+y^3+z^3+3xyz\geq xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)$$
Which is obvious ( Schur )
Đoạn màu đỏ có cách nào gộp nhanh không chứ không lẽ nhân hết vào

Posted

Sign In

$5(ab+bc+ca)(a+b+c)\geq (a+b+c)^{3}+18abc$

mabelpines

hoanglong2k

mabelpines

Sponsored content