Các bạn tự trình bay chi tiết bài giải của mình nhé!!! Ở đây chỉ cung cấp ngắn gọn cách và đáp số của một bài toán.

Câu 1:
a) Bạn đọc tự giải
b) PT: ${x^3} - 3m{x^2} - 1 = 0$
$\Leftrightarrow 3m = x - \frac{1}{{{x^2}}},\left( {x \ne 0} \right)$
Xét hàm số $f\left( x \right) = x - \frac{1}{{{x^2}}}$
có $f'\left( x \right) = 1 + \frac{2}{{{x^3}}}$
$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x =  - \sqrt[3]{2}$
Lập bảng biến thiên hàm số f(x) ta thấy PT có ba nghiệm phân biệt khi
$m < \frac{1}{{3\sqrt 4 }}$

Câu 2:
a) Đặt: $x = \tan \frac{\alpha }{2};y = \tan \frac{\beta }{2}$
Áp dụng công thức tính $\sin \alpha ,c{\rm{os}}\alpha $ theo x và $\sin \beta ,c{\rm{os}}\beta $ theo y, thay vào giả thiết ta được:
$2x(1 - {y^2}) + 2y(1 - {x^2}) = x(1 + {y^2}) + y(1 + {x^2})$
$ \Leftrightarrow (x + y)(1 - 3xy) = 0 =  > P = xy = \frac{1}{3}$

b) ${z_{1,2}} = \frac{1}{2}\left[ { - 1 \pm \sqrt {\sqrt {17}  - 4}  + (1 \mp \sqrt {\sqrt {17}  + 4} )i} \right]$
${z_3} = 0$

Câu 3:
a) ĐK: $x \ge 2$
Đặt: $t = \sqrt {2{{\log }_4}(x - 1)} ,(t \ge 0)$
Biến đổi PT đã cho và thay t vào ta được ${t^2} + 3t - 4 = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{t = 1}\\
{t =  - 4(loai)}
\end{array}} \right.$
Giải PT với t=1 thì x=3 (thỏa mãn)

b) b) Hệ số của ${x^{10}}$ trong khai triển ${\left( {x + \frac{1}{x} + {x^3}} \right)^{10}}(x \ne 0)$ là 3402

Câu 4: $I = \frac{{\sqrt 6 }}{6}\arctan \sqrt 6 $

Câu 5:   (Bạn đọc tự vẽ hình)
Lập hệ trục tọa độ gốc O, trục Ox vuông góc với AB, trục Oy vuông góc với BC, trục Ox chứa OS
$A\left( {\frac{a}{2};\frac{{ - a}}{2};0} \right);B\left( {\frac{a}{2};\frac{a}{2};0} \right);C\left( { - \frac{a}{2};\frac{a}{2};0} \right);S\left( {0;0;A} \right);M\left( {\frac{a}{4};\frac{a}{4};\frac{{a\sqrt 2 }}{4}} \right);N\left( {0;\frac{a}{2};0} \right)$
$ \Rightarrow MN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$
${\rm{cos}}(MN,AB) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow (MN,AB) = {60^0}$
${d_{(MN,SC)}} = \frac{{a\sqrt 2 (6 - \sqrt 2 )}}{{8\sqrt {6 - 2\sqrt 2 } }}$

Câu 6:   Tọa độ $B(1;5),C( - 4; - 5)$

Câu 7:  a)PT mp(Q): $x + y + z - 1 = 0$
b) $M\left( {\frac{{ - 5}}{9};\frac{{ - 20}}{9};\frac{{ - 2}}{9}} \right)$

Câu 8:
ĐK: $x \ge 0,y \ge 0$
PT thứ nhất của hệ tương đương $\sqrt x \left( {x - 1} \right) = \sqrt y \left( {y + 8} \right)$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > 1\\
x{\left( {x - 1} \right)^2} = y{\left( {y + 8} \right)^2}
\end{array} \right.$
Từ PT thứ hai $ \Rightarrow y = x - 5$ thế vào (1) ta được:
$3{x^2} - 22x - 45 = 0$
Kết luận hệ có nghiệm duy nhất: $(x;y) = (9;4)$