$\sqrt{\dfrac{2a}{a+b}}+\sqrt{\dfrac{2b}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{2c}{c+a}}\leq 3$

Phó Tư Lệnh

Nhóm : ĐHV Tổng Hợp
Tổng số bài gửi : 168
Điểm viết bài : 393
Điểm nội dung : 103
Tuổi : 23
Đến từ : The Earth

Posted Wed Oct 21, 2015 1:08 pm

Cho a, b, c> 0. CMR:
$\sqrt{\dfrac{2a}{a+b}}+\sqrt{\dfrac{2b}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{2c}{c+a}}\leq 3$

Được sửa bởi viet nam in my heart ngày Fri Oct 23, 2015 9:16 pm; sửa lần 1. (Reason for editing : Dùng \dfrac thay \frac để hiển thị phân số)

Phó Tư Lệnh

Nhóm : ĐHV Tổng Hợp
Tổng số bài gửi : 118
Điểm viết bài : 287
Điểm nội dung : 145
Tuổi : 23
Đến từ : 10AK31 - THPT Hồng Lĩnh

Posted Wed Oct 21, 2015 1:19 pm

anhxtanh2000 đã viết:Cho a, b, c> 0. CMR:
$\sqrt{\dfrac{2a}{a+b}}+\sqrt{\dfrac{2b}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{2c}{c+a}}\leq 3$

Áp dụng bất đăng thức Cauchy-Schwarz, ta có:
$\left ( \sum \sqrt{\dfrac{2a}{a + b}} \right )^{2} = \left ( \sum \sqrt{\dfrac{2a(a + c)}{(a + b)(a + c)}} \right )^{2} \leq 2(a + b + c)\left ( \sum \dfrac{2a}{(a + b)(a + c)} \right ) = \dfrac{8(a + b + c)(ab + bc + ca)}{(a + b)(b + c)(c + a)} \leq 9$
=> dpcm

Được sửa bởi viet nam in my heart ngày Fri Oct 23, 2015 9:17 pm; sửa lần 1. (Reason for editing : Dùng \dfrac thay \frac để hiển thị phân số)

$\sqrt{\dfrac{2a}{a+b}}+\sqrt{\dfrac{2b}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{2c}{c+a}}\leq 3$

๖ۣۜTFM_๖ۣۜDragon

Trần Lộc Nguyên

Sign In

$\sqrt{\dfrac{2a}{a+b}}+\sqrt{\dfrac{2b}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{2c}{c+a}}\leq 3$

๖ۣۜTFM_๖ۣۜDragon

Trần Lộc Nguyên