Diễn đàn Trung học Phổ Thông

CHÚ Ý : Các thành viên tham gia Diễn đàn Trung học Phổ Thông cần đọc kĩ cách đặt tiêu đề,cách gõ $\LaTeX$ đúng quy định.

You are not connected. Please login or register

Chuyển đến trang : 1, 2, 3  Next

 
 

Topic Bất Đẳng Thức - Cực Trị

Thông điệp (Trang 1 trong tổng số 3 trang)

#1

Trần Lộc Nguyên

Trần Lộc Nguyên
 
Phó Tư Lệnh
Phó Tư Lệnh

Posted on Mon Nov 02, 2015 6:44 pm

 

Chào mọi người!
Bất đẳng thức là một phần học rất khó và rất quan trọng của môn toán. Để củng cố dạng bài tập này để áp dụng vào các kì thi đại hoc, kì thi học sinh giỏi, minh xin phép mở topic này để mọi người cùng tham khảo và tranh luận. Tuy đã có rất nhiều sách cũng như rất nhiều topic đã nói về dạng bài này nhưng rất mong được sự ủng hộ của toàn thể mọi người. Bài tập về bất đẳng thức có thể nói "rất rất" phong phú đa dạng, lượng bài tập nhiều.
Một số nội quy của topic:
Like a Star @ heaven  Không spam, lạc đề cũng như dùng icon quá nhiều.
Like a Star @ heaven  Không dùng lời nói thô tục, các bài viết mang tính chất phá topic sẽ xóa không báo trước.
Like a Star @ heaven  Mỗi người chỉ đưa lên 1 -> 2 bài để tránh loãng topic và nhiều bài không có lời giải.
Like a Star @ heaven  Đánh số thứ tự bài để tránh sự lộn xộn, tăng tính thẩm mĩ cho topic.
Like a Star @ heaven  Sau 3 ngày mà chưa có ai giải thì mới post lời giải và post bài mới lên tránh trường hợp quá nhiều bài mà không có ai giải.
Like a Star @ heaven  Bài làm cần ghi cụ thể, tránh ghi vắn tắt quá nhiều, nêu rõ dùng phương pháp hay bất đẳng thức gì...
A. Kiến Thức Cần Nhớ:
1. Tính chất cơ bản của bất đẳng thức.
• a > b và b > c ⇒ a > c.
• a > b ⇒ a + c > b + c.
• Nếu c > 0 thì a > b ⇒ ac > bc.
• Nếu c < 0 thì a > b ⇒ ac < bc.
2. Bất đẳng thức Cauchy.
3. Các bất đẳng thức liên quan khác.
B. Phương Pháp Cơ Bản:
• PP1: Sử dụng phép biến đổi tương đương.
• PP2: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy.
• PP3: Phương pháp hàm số.
• PP4: Kĩ thuật chọn điểm rơi.
Lưu ý: Những bài viết đã được giải quyết sẽ được tô màu "đỏ" !



Được sửa bởi Trần Lộc Nguyên ngày Mon Nov 02, 2015 6:54 pm; sửa lần 1.

#2

Trần Lộc Nguyên

Trần Lộc Nguyên
 
Phó Tư Lệnh
Phó Tư Lệnh

Posted on Mon Nov 02, 2015 6:50 pm

 

Mở đầu với một số bài tập khá đơn giản.
Bài 1: Cho a, b, c ∈ R. Chứng minh bất đẳng thức: $2a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 2a(b+c)$
Bài 2:
a) Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh bất đẳng thức: $$1<\dfrac{a}{b+c+d}+\dfrac{b}{c+d+a}+\dfrac{c}{d+a+b}+\dfrac{d}{a+b+c}<2$$
b) Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh bất đẳng thức:
$$\sqrt{\dfrac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+d+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{d+a+b}}+\sqrt{\dfrac{d}{a+b+c}}> 2$$



Được sửa bởi Trần Lộc Nguyên ngày Tue Nov 03, 2015 8:00 pm; sửa lần 3.

#3

vovinam

vovinam
 
Thành viên mới
Thành viên mới

Posted on Mon Nov 02, 2015 7:24 pm

 

@Trần Lộc Nguyên đã viết:Mở đầu với một số bài tập khá đơn giản.
Bài 1: Cho a, b, c ∈ R. Chứng minh bất đẳng thức: $2a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 2a(b+c)$
Bài 2:
a) Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh bất đẳng thức: $$1<\dfrac{a}{b+c+d}+\dfrac{b}{c+d+a}+\dfrac{c}{d+a+b}+\dfrac{d}{a+b+c}<2$$
b) Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh bất đẳng thức:
$$\sqrt{\dfrac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+d+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{d+a+b}}+\sqrt{\dfrac{d}{a+b+c}}> 2$$
Bài 1: Áp dụng bất đẳng thức $2(a^{2}+b^{2})\geq (a+b)^{2}$
Ta có: $2a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 2a^{2}+\dfrac{(b+c)^{2}}{2}\geq 2a(b+c)$ (Bất đẳng thức Cô-si)

#4

mabelpines

mabelpines
 
Thiếu Úy
Thiếu Úy

Posted on Mon Nov 02, 2015 7:47 pm

 

Thêm vài bài nha
Bài 3: Cho a, b là 2 số thực dương thỏa $2(a^{2}+b^{2})+ab=(a+b)(ab+2)$
Tìm GTNN của $P=4\left ( \dfrac{a^{3}}{b^{3}}+\dfrac{b^{3}}{a^{3}}\right )+9\left ( \dfrac{a^{2}}{b^{2}}+\dfrac{b^{2}}{a^{2}} \right )$
Bài 4: Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa $a+b+c=1$
Tìm GTNN của $P=3(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})+3(ab+bc+ca)+2\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$



Được sửa bởi Trần Lộc Nguyên ngày Thu Nov 05, 2015 3:05 pm; sửa lần 3. (Reason for editing : chuyển \frac thành \dfrac để hiển thị phân số to rõ hơn nha!)



Mabel Pines - Gravity Falls
#5

Bờ|☼|Lâu

Bờ|☼|Lâu
 
Tổng Tư Lệnh
Tổng Tư Lệnh

Posted on Mon Nov 02, 2015 7:48 pm

 

Bài 5
Với a,b,c dương, CMR:
$(\dfrac{4a}{b+c}+1)(\dfrac{4b}{c+a}+1)(\dfrac{4c}{a+b}+1)>25$



Topic Bất Đẳng Thức - Cực Trị Ka3El
#6

mabelpines

mabelpines
 
Thiếu Úy
Thiếu Úy

Posted on Mon Nov 02, 2015 7:49 pm

 

BờLâu đã viết:Bài 3
Với a,b,c dương, CMR:
$(\dfrac{4a}{b+c}+1)(\dfrac{4b}{c+a}+1)(\dfrac{4c}{a+b}+1)>25$
Sửa lại đi bạn Bài 5 rồi



Mabel Pines - Gravity Falls
#7

๖ۣۜTFM_๖ۣۜDragon

๖ۣۜTFM_๖ۣۜDragon
 
Phó Tư Lệnh
Phó Tư Lệnh

Posted on Mon Nov 02, 2015 8:26 pm

 

@Trần Lộc Nguyên đã viết:Mở đầu với một số bài tập khá đơn giản.
Bài 2:
b) Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh bất đẳng thức:
$$\sqrt{\dfrac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+d+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{d+a+b}}+\sqrt{\dfrac{d}{a+b+c}}> 2$$
Áp dụng bđt Cô-si ta có:
$\sqrt{\dfrac{a}{b+c+d}}=\dfrac{a}{\sqrt{a(b+c+d)}}\geq \dfrac{2a}{a+b+c+d}$
Tương tự cộng các bđt lại ta được:
$\sqrt{\dfrac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+d+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{d+a+b}}+\sqrt{\dfrac{d}{a+b+c}}\geq \dfrac{2(a+b+c+d)}{a+b+c+d}=2$
Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
&a=b+c+d  &  & \\
&b=c+d+a  &  & \\
&c=d+a+b  &  & \\
&d=a+b+c  &  &
\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow$ Dấu = không xảy ra$\Rightarrow$ Đpcm



Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.
#8

๖ۣۜTFM_๖ۣۜDragon

๖ۣۜTFM_๖ۣۜDragon
 
Phó Tư Lệnh
Phó Tư Lệnh

Posted on Mon Nov 02, 2015 8:44 pm

 

@mabelpines đã viết:Thêm vài bài nha
Bài 3: Cho a, b là 2 số thực dương thỏa $2(a^{2}+b^{2})+ab=(a+b)(ab+2)$
Tìm GTNN của $P=4\left ( \dfrac{a^{3}}{b^{3}}+\dfrac{b^{3}}{a^{3}}\right )+9\left ( \dfrac{a^{2}}{b^{2}}+\dfrac{b^{2}}{a^{2}} \right )$
Bài 4: Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa $a+b+c=1$
Tìm GTNN của $P=(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})+3(ab+bc+ca)+2\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
Đề bài 4 là $(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})$ hay là 3$(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})$



Được sửa bởi ๖ۣۜTFM_๖ۣۜDragon ngày Tue Nov 03, 2015 1:22 pm; sửa lần 1.



Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.




#9

Vũ Thị Thùy Linh

Vũ Thị Thùy Linh
 
Hạ Sĩ
Hạ Sĩ

Posted on Mon Nov 02, 2015 9:13 pm

 

@Trần Lộc Nguyên đã viết:Chào mọi người!
Bất đẳng thức là một phần học rất khó và rất quan trọng của môn toán. Để củng cố dạng bài tập này để áp dụng vào các kì thi đại hoc, kì thi học sinh giỏi, minh xin phép mở topic này để mọi người cùng tham khảo và tranh luận. Tuy đã có rất nhiều sách cũng như rất nhiều topic đã nói về dạng bài này nhưng rất mong được sự ủng hộ của toàn thể mọi người. Bài tập về bất đẳng thức có thể nói "rất rất" phong phú đa dạng, lượng bài tập nhiều.
Một số nội quy của topic:
Like a Star @ heaven  Không spam, lạc đề cũng như dùng icon quá nhiều.
Like a Star @ heaven  Không dùng lời nói thô tục, các bài viết mang tính chất phá topic sẽ xóa không báo trước.
Like a Star @ heaven  Mỗi người chỉ đưa lên 1 -> 2 bài để tránh loãng topic và nhiều bài không có lời giải.
Like a Star @ heaven  Đánh số thứ tự bài để tránh sự lộn xộn, tăng tính thẩm mĩ cho topic.
Like a Star @ heaven  Sau 3 ngày mà chưa có ai giải thì mới post lời giải và post bài mới lên tránh trường hợp quá nhiều bài mà không có ai giải.
Like a Star @ heaven  Bài làm cần ghi cụ thể, tránh ghi vắn tắt quá nhiều, nêu rõ dùng phương pháp hay bất đẳng thức gì...
A. Kiến Thức Cần Nhớ:
Góp ý một chút cho chủ topic:
- BĐT trong các kì thi tuyển sinh ĐH thường sử dụng đến đạo hàm của 11 và 12. Ngoài ra đó cũng được coi là phần khó nhất trong đề thi môn toán. Vậy nên đề nghị chủ topic lựa chọn những bài có dạng như vậy để việc ôn tập tốt hơn. Mới vào topic mà tưởng vào nhầm chỗ ôn thi hsg lớp 8. Mà ôn thi ĐH cũng chả dùng các kiến thức như bạn đã nêu ở trên đâu. Nó quá cơ bản và không có nhiều tác dụng trong topic này.
- Ngoài ra, cần có một quy định nữa: những bài đã thi ĐH rồi thi đừng nên đem vào nữa, hoặc có đem vào thì cố gắng phân tích hướng đi, thay đổi một vài dữ kiện để bài toán được khác đi



http://dinhxuanhung.blogspot.com/


#10

Trần Lộc Nguyên

Trần Lộc Nguyên
 
Phó Tư Lệnh
Phó Tư Lệnh

Posted on Mon Nov 02, 2015 9:26 pm

 

@Trần Lộc Nguyên đã viết:Mở đầu với một số bài tập khá đơn giản.
Bài 1: Cho a, b, c ∈ R. Chứng minh bất đẳng thức: $2a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 2a(b+c)$
Bài 2:
a) Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh bất đẳng thức: $$1<\dfrac{a}{b+c+d}+\dfrac{b}{c+d+a}+\dfrac{c}{d+a+b}+\dfrac{d}{a+b+c}<2$$
b) Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh bất đẳng thức:
$$\sqrt{\dfrac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+d+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{d+a+b}}+\sqrt{\dfrac{d}{a+b+c}}> 2$$
Bài 2a)
*) ta có: $\dfrac{a}{b+c+d}> \dfrac{a}{a+b+c+d}$.
Đến đây tương tự cộng vế theo vế.
*) ta có: $\dfrac{a}{b+c+d}< \dfrac{2a}{b+c+d}$.
Đến đây tương tự cộng vế theo vế.

Bắt đầu đi vào trọng tâm:
Bài 6: Chứng minh rằng với a,b,c>0 and a+b+c=3 thì:
$2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+3 \leq 3(a^2+b^2+c^2)$.
Bài 7: Cho a, b, c > 0. Chứng minh:
$\dfrac{ab}{3a+4b+5c}+ \dfrac{bc}{3b+ 4c+5a}+ \dfrac{ca}{3c+4a+5b}\leq \dfrac{a+b+c}{12}$

#11

๖ۣۜTFM_๖ۣۜDragon

๖ۣۜTFM_๖ۣۜDragon
 
Phó Tư Lệnh
Phó Tư Lệnh

Posted on Mon Nov 02, 2015 9:43 pm

 

Bờ Lâu đã viết:Bài 5:
Với a,b,c dương, CMR:
$(\dfrac{4a}{b+c}+1)(\dfrac{4b}{c+a}+1)(\dfrac{4c}{a+b}+1)>25$
Giả sử $0< a\leq b\leq c$
Đặt $S=a+b+c$
Bđt cần chứng minh$\Leftrightarrow (S+3a)(S+3b)(S+3c)> 25(S-a)(S-b)(S-c)$
$\Leftrightarrow S^{3}-4S(ab+bc+ca)+13abc> 0$
$\Leftrightarrow S\left [ (a+b-c)^{2}-4ab \right ]+13abc> 0$
$\Leftrightarrow S(a+b-c)^{2}+ab(13c-4S)> 0$
(Luôn đúng vì $13c-4S=13c-4(a+b+c)=9c-4(a+b)> 0$)



Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.
#12

mabelpines

mabelpines
 
Thiếu Úy
Thiếu Úy

Posted on Tue Nov 03, 2015 2:56 pm

 

@๖ۣۜTFM_๖ۣۜDragon đã viết:
@mabelpines đã viết:Thêm vài bài nha
Bài 3: Cho a, b là 2 số thực dương thỏa $2(a^{2}+b^{2})+ab=(a+b)(ab+2)$
Tìm GTNN của $P=4\left ( \dfrac{a^{3}}{b^{3}}+\dfrac{b^{3}}{a^{3}}\right )+9\left ( \dfrac{a^{2}}{b^{2}}+\dfrac{b^{2}}{a^{2}} \right )$
Bài 4: Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa $a+b+c=1$
Tìm GTNN của $P=(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})+3(ab+bc+ca)+2\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
Đề bài 4 là $(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})$ hay là 3$(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})$
Đã sửa



Mabel Pines - Gravity Falls




#13

mabelpines

mabelpines
 
Thiếu Úy
Thiếu Úy

Posted on Tue Nov 03, 2015 3:01 pm

 

Bải 8: Cho các số thực $x, y$ thỏa $(x+y)^{3}+4xy\geq2$
Tìm GTNN của $P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1$



Mabel Pines - Gravity Falls
#14

Đinh Xuân Hùng

Đinh Xuân Hùng
 
Người sáng lập ra Diễn đàn THPT
Người sáng lập ra Diễn đàn THPT

Posted on Tue Nov 03, 2015 5:47 pm

 

@mabelpines đã viết:Bải 8: Cho các số thực $x, y$ thỏa $(x+y)^{3}+4xy\geq2$
Tìm GTNN của $P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1$

Ta có:$4xy\leq (x+y)^2$

$\Rightarrow (x+y)^3+(x+y)^2\geq 2\Leftrightarrow x+y\geq 1$

Ta có:$P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1$

$=3(x^2+y^2)^2-3x^2y^2-2(x^2+y^2)+1\geq 3(x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)-\dfrac{3(x^2+y^2)^2}{4}+1$

$=\dfrac{9(x^2+y^2)^2}{4}-2(x^2+y^2)+1$

$=\dfrac{9t^2}{4}-2t+1(t=x^2+y^2\geq \dfrac{1}{2})$



#15

viet nam in my heart

viet nam in my heart
 
Phó Tư Lệnh
Phó Tư Lệnh

Posted on Tue Nov 03, 2015 7:54 pm

 

BĐT ôn thi đại học thì bạn nên chia thành phương pháp đi. Hơn nữa nên có thêm phần nêu ra những BĐT phụ nữa. Cần có thêm những bài toán tìm GTLN, GTNN qua cách dồn về một biến thay vì những bài toán Chứng minh





#16

Trần Lộc Nguyên

Trần Lộc Nguyên
 
Phó Tư Lệnh
Phó Tư Lệnh

Posted on Tue Nov 03, 2015 8:05 pm

 

Bài 9: Cho x, y thỏa mãn: $(x^{2}+y^{2})^{2}-3(x^{2}+y^{2})+2=-x^{2}-3x^{2}y^{2}$.
Tìm Max, Min của $f(x;y)=x^{2}+2y^{2}-3x^{2}y^{2}.$



Được sửa bởi Trần Lộc Nguyên ngày Tue Nov 03, 2015 9:17 pm; sửa lần 1.

#17

๖ۣۜTFM_๖ۣۜDragon

๖ۣۜTFM_๖ۣۜDragon
 
Phó Tư Lệnh
Phó Tư Lệnh

Posted on Tue Nov 03, 2015 9:14 pm

 

@Trần Lộc Nguyên đã viết:Bài 9: Cho x, y thỏa mãn: $(x^{2}+y^{2})^{2}-3(x^{2}+y^{2})+2=-x^{2}-3x^{2}y^{2}$.
Tìm Max, Min của $f(x;y)=x^{2}+2y^{2}-3x^{2}y^{2}.$
Ta có:
$(x^{2}+y^{2})^{2}-3(x^{2}+y^{2})+2=-x^{2}-3x^{2}y^{2}$(*)
$\Leftrightarrow x^{2}+2y^{2}-3x^{2}y^{2}=(x^{2}+y^{2})^{2}-(x^{2}+y^{2})+2$
$\Leftrightarrow f(x,y)=t^{2}-t+2(t=x^{2}+y^{2})$
Từ (*)$\Rightarrow 1\leq t\leq 2$
Đến đây vẽ bảng biến thiên là ra



Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.
#18

Trần Lộc Nguyên

Trần Lộc Nguyên
 
Phó Tư Lệnh
Phó Tư Lệnh

Posted on Tue Nov 03, 2015 9:28 pm

 

Bài 10: Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0. Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=3^{\left | x-y \right |}+3^{\left | y-z \right |}+3^{\left | z-x \right |}-\sqrt{6x^{2}+6y^{2}+6z^{2}}$
Bài 11: Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức $x^{2}+y^{2}=1$
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\dfrac{2(x^{2}+6xy)}{1+2xy+2y^{2}}$



Được sửa bởi Trần Lộc Nguyên ngày Wed Nov 04, 2015 7:24 pm; sửa lần 2.

#19

๖ۣۜTFM_๖ۣۜDragon

๖ۣۜTFM_๖ۣۜDragon
 
Phó Tư Lệnh
Phó Tư Lệnh

Posted on Tue Nov 03, 2015 9:47 pm

 

@Trần Lộc Nguyên đã viết:Bài 11: Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức $x^{2}+y^{2}=1$
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\dfrac{2(x^{2}+6xy)}
{1+2xy+2y^{2}}$
Ta có:
$P=\dfrac{2x^{2}+12xy}{x^{2}+2xy+3y^{2}}$
$\Rightarrow x^{2}(P-2)+2xy(P-6)+3Py^{2}=0$
+)$y=0Rightarrow P=2$
+)$y\neq 0\Rightarrow P\neq 2$
$\Rightarrow (\dfrac{x}{y})^{2}(P-2)+2\dfrac{x}{y}.(P-6)+3P=0$
$\Rightarrow t^{2}(P-2)+2t(P-6)+3P=0$
$\Delta ^{'}=(P-6)^{2}-3P(P-2)=-2P^{2}-6P+36\geq 0$
$\Leftrightarrow -6\leq P\leq 3$
Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow ...$



Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.
#20

Marie Curie

Marie Curie
 
Phó Tư Lệnh
Phó Tư Lệnh

Posted on Wed Nov 04, 2015 12:42 am

 

Bài 12: Cho 2 số thực x,y thay đổi thỏa mãn : $x^{2}-xy+y^{2}=1$
Tìm max và min của biểu thức:
$P=\dfrac{(x^{2}-1)^{2}+(y^{2}-1)^{2}+2xy(xy-1)+3}{x^{2}+y^{2}+3}$
Bài 13: Cho hàm số $f:\left ( 0,+\infty  \right )\rightarrow R$ thảo mãn điều kiện :
$f(tan2x)=tan^{4}x+\dfrac{1}{tan^{4}x}, \forall x\epsilon (0;\dfrac{\pi }{4})$
CMR min của hàm số $g(x)=f(sinx)+f(cosx)$ trên $(0;\dfrac{\pi }{2})$ là 196



Được sửa bởi Trần Lộc Nguyên ngày Wed Nov 04, 2015 7:23 pm; sửa lần 2. (Reason for editing : Dung \dfrac thay \frac)

#21

Trần Lộc Nguyên

Trần Lộc Nguyên
 
Phó Tư Lệnh
Phó Tư Lệnh

Posted on Wed Nov 04, 2015 11:32 am

 

@Marie Curie đã viết:Bài 12: Cho 2 số thực x,y thay đổi thỏa mãn : $x^{2}-xy+y^{2}=1$
Tìm max và min của biểu thức:
$P=\dfrac{(x^{2}-1)^{2}+(y^{2}-1)^{2}+2xy(xy-1)+3}{x^{2}+y^{2}+3}$
Bài 13: Cho hàm số $f:\left ( 0,+\infty  \right )\rightarrow R$ thảo mãn điều kiện :
$f(tan2x)=tan^{4}x+\frac{1}{tan^{4}x}, \forall x\epsilon (0;\frac{\pi }{4})$
CMR min của hàm số $g(x)=f(sinx)+f(cosx)$ trên $(0;\frac{\pi }{2})$ là 196
Bài 12:
Ta có: $P=\dfrac{(x^{2}-1)^{2}+(y^{2}-1)^{2}+2xy(xy-1)+3}{x^{2}+y^{2}+3}$
$\Leftrightarrow P(x^{2}+y^{2})+3P=(x^{2}+y^{2})^{2}-2x^{2}-2y^{2}-2xy+5$
$\Leftrightarrow P(x^{2}+y^{2})+3P=(x^{2}+y^{2})^{2}-4x^{2}-4y^{2}+2+5$
$\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})^{2}-(P+4)(x^{2}+y^{2})+7-3P=0$
Mà $\Delta =(P+4)^{2}-4(7-3P)=P^{2}+20P-12$ nên pt có nghiệm khi và chỉ khi:
$\Delta \geq 0$
Đến đây giải bất phương trình trên là tìm dc Min, Max của P!

#22

Đinh Xuân Hùng

Đinh Xuân Hùng
 
Người sáng lập ra Diễn đàn THPT
Người sáng lập ra Diễn đàn THPT

Posted on Wed Nov 04, 2015 5:56 pm

 

@Trần Lộc Nguyên đã viết:Bài 10: Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0. Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=3^{\left | x-y \right |}+3^{\left | y-z \right |}+3^{\left | z-x \right |}-\sqrt{6x^{2}+6y^{2}+6z^{2}}$

Từ giả thiết ta có $z=-(x+y)$ (1) trong 3 số $x,y,z$ luôn có 2 số cùng dấu, không mất tính tổng quát giả sử hai số đó là $x,y$ ta có $xy\geq 0$

Thay $(1)$ vào $P$ ta có $P=3^{|x-y|}+3^{|2y+x|}+3^{|2x+y|}-\sqrt{12(x^2+y^2+xy)}$

$$P=3^{|x-y|}+3^{|2y+x|}+3^{|2x+y|}-\sqrt{[12(x+y)^2-xy)]}$$

$$\large{\geq 3^{|x-y|}+2.3^{\frac{|2y+x|+|2x+y|}{2}}-2\sqrt{3}|x+y|}\geq 3^{|x-y|}+2.3^{\frac{3|x+y|}{2}}-2\sqrt{3}|x+y|$$

Đặt $t=|x+y|, (t\ge 0)$ xét $f(t)=2.(\sqrt{3})^{3t}-2\sqrt{3}t$

$$f'(x)=2.3(\sqrt{3})^{3t}ln\sqrt{3}-2\sqrt{3}=2\sqrt{3}.(\sqrt{3}(\sqrt{3})^{3t}ln\sqrt{3}-1)>0$$

Nên suy ra hàm $f$ đồng biến trên $[0;+\infty )$ nên $f(t)\geq f(0)=2$

Ta có: $3^{|x-y|}\ge 3^0=1$ vậy $P\ge 3^0+2 =3$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=0$

#23

Đinh Xuân Hùng

Đinh Xuân Hùng
 
Người sáng lập ra Diễn đàn THPT
Người sáng lập ra Diễn đàn THPT

Posted on Wed Nov 04, 2015 8:39 pm

 

Bài 14: (Sáng tác-Đinh Xuân Hùng)Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $xyz+4\geq 2(x+y+z)$.Tìm GTLN của biểu thức:$$\dfrac{\sqrt{2x^2-4x+4}+\sqrt{2y^2-4y+4}+\sqrt{2z^2-4z+4}}{2(x+y+z)^2}+\dfrac{9}{xyz+4}$$

#24

Trần Lộc Nguyên

Trần Lộc Nguyên
 
Phó Tư Lệnh
Phó Tư Lệnh

Posted on Wed Nov 04, 2015 9:06 pm

 

@Đinh Xuân Hùng đã viết:
Bài 14 (Sáng tác-Đinh Xuân Hùng)Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $xyz+4\geq 2(x+y+z)$.Tìm GTLN của biểu thức:$$\dfrac{\sqrt{2x^2-4x+4}+\sqrt{2y^2-4y+4}+\sqrt{2z^2-4z+4}}{2(x+y+z)^2}+\dfrac{9}{xyz+4}$$
Bài này mình áp dụng khá nhiều bất đẳng thức:
Ta có: $xyz+4\geq 2(x+y+z)\geq 2.3\sqrt[3]{xyz}\Leftrightarrow xyz\leq 8$
Áp dụng bđt Min-cop-xki:
$\dfrac{\sqrt{2x^2-4x+4}+\sqrt{2y^2-4y+4}+\sqrt{2z^2-4z+4}}{2(x+y+z)^2}+\dfrac{9}{xyz+4}$
$\geq \dfrac{\sqrt{2}.\sqrt{(x+y+z-3)^{2}+3^{2}}}{2(x+y+z)^{2}}+\dfrac{9}{xyz+4}$
$\geq \dfrac{\sqrt{2}.\dfrac{x+y+z}{\sqrt{2}}}{2(x+y+z)^{2}}+\dfrac{9}{xyz+4}\geq \dfrac{10}{xyz+4}\geq \dfrac{5}{6}$
Dấu bằng xảy ra tại $x=y=z=2$

#25

viet nam in my heart

viet nam in my heart
 
Phó Tư Lệnh
Phó Tư Lệnh

Posted on Wed Nov 04, 2015 9:13 pm

 

@Trần Lộc Nguyên đã viết:
@Đinh Xuân Hùng đã viết:
Bài 14 (Sáng tác-Đinh Xuân Hùng)Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $xyz+4\geq 2(x+y+z)$.Tìm GTLN của biểu thức:$$\dfrac{\sqrt{2x^2-4x+4}+\sqrt{2y^2-4y+4}+\sqrt{2z^2-4z+4}}{2(x+y+z)^2}+\dfrac{9}{xyz+4}$$
Bài này mình áp dụng khá nhiều bất đẳng thức:
Ta có: $xyz+4\geq 2(x+y+z)\geq 2.3\sqrt[3]{xyz}\Leftrightarrow xyz\leq 8$
Áp dụng bđt Min-cop-xki:
$\dfrac{\sqrt{2x^2-4x+4}+\sqrt{2y^2-4y+4}+\sqrt{2z^2-4z+4}}{2(x+y+z)^2}+\dfrac{9}{xyz+4}$
$\geq \dfrac{\sqrt{2}.\sqrt{(x+y+z-3)^{2}+3^{2}}}{2(x+y+z)^{2}}+\dfrac{9}{xyz+4}$
$\geq \dfrac{\sqrt{2}.\dfrac{x+y+z}{\sqrt{2}}}{2(x+y+z)^{2}}+\dfrac{9}{xyz+4}\geq \dfrac{10}{xyz+4}\geq \dfrac{5}{6}$
Dấu bằng xảy ra tại $x=y=z=2$
Sai ngay dòng đầu rồi bạn sao suy ra được $xyz \geq 8$

#26

Sponsored content


 

Posted

 





Thông điệp (Trang 1 trong tổng số 3 trang)


  • Total Posts:
  • Total Members:
  • Newest Member:
  • Most Online: Số người truy cập cùng lúc nhiều nhất là 61 người, vào ngày Sat Jul 29, 2017 12:27 pm

Hiện có 0 người đang truy cập Diễn Đàn, gồm: 0 Thành viên, 0 Thành viên ẩn danh và 0 Khách viếng thăm
Đang truy cập Diễn Đàn này: Không