Chào mọi người!
Bất đẳng thức là một phần học rất khó và rất quan trọng của môn toán. Để củng cố dạng bài tập này để áp dụng vào các kì thi đại hoc, kì thi học sinh giỏi, minh xin phép mở topic này để mọi người cùng tham khảo và tranh luận. Tuy đã có rất nhiều sách cũng như rất nhiều topic đã nói về dạng bài này nhưng rất mong được sự ủng hộ của toàn thể mọi người. Bài tập về bất đẳng thức có thể nói "rất rất" phong phú đa dạng, lượng bài tập nhiều.
Một số nội quy của topic:
 Không spam, lạc đề cũng như dùng icon quá nhiều.
 Không dùng lời nói thô tục, các bài viết mang tính chất phá topic sẽ xóa không báo trước.
 Mỗi người chỉ đưa lên 1 -> 2 bài để tránh loãng topic và nhiều bài không có lời giải.
 Đánh số thứ tự bài để tránh sự lộn xộn, tăng tính thẩm mĩ cho topic.
 Sau 3 ngày mà chưa có ai giải thì mới post lời giải và post bài mới lên tránh trường hợp quá nhiều bài mà không có ai giải.
 Bài làm cần ghi cụ thể, tránh ghi vắn tắt quá nhiều, nêu rõ dùng phương pháp hay bất đẳng thức gì...
A. Kiến Thức Cần Nhớ:
1. Tính chất cơ bản của bất đẳng thức.
• a > b và b > c ⇒ a > c.
• a > b ⇒ a + c > b + c.
• Nếu c > 0 thì a > b ⇒ ac > bc.
• Nếu c < 0 thì a > b ⇒ ac < bc.
2. Bất đẳng thức Cauchy.
3. Các bất đẳng thức liên quan khác.
B. Phương Pháp Cơ Bản:
• PP1: Sử dụng phép biến đổi tương đương.
• PP2: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy.
• PP3: Phương pháp hàm số.
• PP4: Kĩ thuật chọn điểm rơi.
Lưu ý: Những bài viết đã được giải quyết sẽ được tô màu "đỏ" !

Mở đầu với một số bài tập khá đơn giản.
Bài 1: Cho a, b, c ∈ R. Chứng minh bất đẳng thức: $2a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 2a(b+c)$
Bài 2:
a) Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh bất đẳng thức: $$1<\dfrac{a}{b+c+d}+\dfrac{b}{c+d+a}+\dfrac{c}{d+a+b}+\dfrac{d}{a+b+c}<2$$
b) Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh bất đẳng thức:
$$\sqrt{\dfrac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+d+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{d+a+b}}+\sqrt{\dfrac{d}{a+b+c}}> 2$$

Trần Lộc Nguyên đã viết:Mở đầu với một số bài tập khá đơn giản.
Bài 1: Cho a, b, c ∈ R. Chứng minh bất đẳng thức: $2a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 2a(b+c)$
Bài 2:
a) Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh bất đẳng thức: $$1<\dfrac{a}{b+c+d}+\dfrac{b}{c+d+a}+\dfrac{c}{d+a+b}+\dfrac{d}{a+b+c}<2$$
b) Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh bất đẳng thức:
$$\sqrt{\dfrac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+d+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{d+a+b}}+\sqrt{\dfrac{d}{a+b+c}}> 2$$

Thêm vài bài nha
Bài 3: Cho a, b là 2 số thực dương thỏa $2(a^{2}+b^{2})+ab=(a+b)(ab+2)$
Tìm GTNN của $P=4\left ( \dfrac{a^{3}}{b^{3}}+\dfrac{b^{3}}{a^{3}}\right )+9\left ( \dfrac{a^{2}}{b^{2}}+\dfrac{b^{2}}{a^{2}} \right )$
Bài 4: Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa $a+b+c=1$
Tìm GTNN của $P=3(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})+3(ab+bc+ca)+2\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Bài 5
Với a,b,c dương, CMR:
$(\dfrac{4a}{b+c}+1)(\dfrac{4b}{c+a}+1)(\dfrac{4c}{a+b}+1)>25$

BờLâu đã viết:Bài 3
Với a,b,c dương, CMR:
$(\dfrac{4a}{b+c}+1)(\dfrac{4b}{c+a}+1)(\dfrac{4c}{a+b}+1)>25$

Trần Lộc Nguyên đã viết:Mở đầu với một số bài tập khá đơn giản.
Bài 2:
b) Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh bất đẳng thức:
$$\sqrt{\dfrac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+d+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{d+a+b}}+\sqrt{\dfrac{d}{a+b+c}}> 2$$

mabelpines đã viết:Thêm vài bài nha
Bài 3: Cho a, b là 2 số thực dương thỏa $2(a^{2}+b^{2})+ab=(a+b)(ab+2)$
Tìm GTNN của $P=4\left ( \dfrac{a^{3}}{b^{3}}+\dfrac{b^{3}}{a^{3}}\right )+9\left ( \dfrac{a^{2}}{b^{2}}+\dfrac{b^{2}}{a^{2}} \right )$
Bài 4: Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa $a+b+c=1$
Tìm GTNN của $P=(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})+3(ab+bc+ca)+2\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Trần Lộc Nguyên đã viết:Chào mọi người!
Bất đẳng thức là một phần học rất khó và rất quan trọng của môn toán. Để củng cố dạng bài tập này để áp dụng vào các kì thi đại hoc, kì thi học sinh giỏi, minh xin phép mở topic này để mọi người cùng tham khảo và tranh luận. Tuy đã có rất nhiều sách cũng như rất nhiều topic đã nói về dạng bài này nhưng rất mong được sự ủng hộ của toàn thể mọi người. Bài tập về bất đẳng thức có thể nói "rất rất" phong phú đa dạng, lượng bài tập nhiều.
Một số nội quy của topic:
 Không spam, lạc đề cũng như dùng icon quá nhiều.
 Không dùng lời nói thô tục, các bài viết mang tính chất phá topic sẽ xóa không báo trước.
 Mỗi người chỉ đưa lên 1 -> 2 bài để tránh loãng topic và nhiều bài không có lời giải.
 Đánh số thứ tự bài để tránh sự lộn xộn, tăng tính thẩm mĩ cho topic.
 Sau 3 ngày mà chưa có ai giải thì mới post lời giải và post bài mới lên tránh trường hợp quá nhiều bài mà không có ai giải.
 Bài làm cần ghi cụ thể, tránh ghi vắn tắt quá nhiều, nêu rõ dùng phương pháp hay bất đẳng thức gì...
A. Kiến Thức Cần Nhớ:

Trần Lộc Nguyên đã viết:Mở đầu với một số bài tập khá đơn giản.
Bài 1: Cho a, b, c ∈ R. Chứng minh bất đẳng thức: $2a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 2a(b+c)$
Bài 2:
a) Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh bất đẳng thức: $$1<\dfrac{a}{b+c+d}+\dfrac{b}{c+d+a}+\dfrac{c}{d+a+b}+\dfrac{d}{a+b+c}<2$$
b) Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh bất đẳng thức:
$$\sqrt{\dfrac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+d+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{d+a+b}}+\sqrt{\dfrac{d}{a+b+c}}> 2$$

Bờ Lâu đã viết:Bài 5:
Với a,b,c dương, CMR:
$(\dfrac{4a}{b+c}+1)(\dfrac{4b}{c+a}+1)(\dfrac{4c}{a+b}+1)>25$

๖ۣۜTFM_๖ۣۜDragon đã viết:

mabelpines đã viết:Thêm vài bài nha
Bài 3: Cho a, b là 2 số thực dương thỏa $2(a^{2}+b^{2})+ab=(a+b)(ab+2)$
Tìm GTNN của $P=4\left ( \dfrac{a^{3}}{b^{3}}+\dfrac{b^{3}}{a^{3}}\right )+9\left ( \dfrac{a^{2}}{b^{2}}+\dfrac{b^{2}}{a^{2}} \right )$
Bài 4: Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa $a+b+c=1$
Tìm GTNN của $P=(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})+3(ab+bc+ca)+2\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Đề bài 4 là $(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})$ hay là 3$(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})$

Bải 8: Cho các số thực $x, y$ thỏa $(x+y)^{3}+4xy\geq2$
Tìm GTNN của $P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1$

mabelpines đã viết:Bải 8: Cho các số thực $x, y$ thỏa $(x+y)^{3}+4xy\geq2$
Tìm GTNN của $P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1$

BĐT ôn thi đại học thì bạn nên chia thành phương pháp đi. Hơn nữa nên có thêm phần nêu ra những BĐT phụ nữa. Cần có thêm những bài toán tìm GTLN, GTNN qua cách dồn về một biến thay vì những bài toán Chứng minh

Bài 9: Cho x, y thỏa mãn: $(x^{2}+y^{2})^{2}-3(x^{2}+y^{2})+2=-x^{2}-3x^{2}y^{2}$.
Tìm Max, Min của $f(x;y)=x^{2}+2y^{2}-3x^{2}y^{2}.$

Trần Lộc Nguyên đã viết:Bài 9: Cho x, y thỏa mãn: $(x^{2}+y^{2})^{2}-3(x^{2}+y^{2})+2=-x^{2}-3x^{2}y^{2}$.
Tìm Max, Min của $f(x;y)=x^{2}+2y^{2}-3x^{2}y^{2}.$

Bài 10: Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0. Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=3^{\left | x-y \right |}+3^{\left | y-z \right |}+3^{\left | z-x \right |}-\sqrt{6x^{2}+6y^{2}+6z^{2}}$
Bài 11: Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức $x^{2}+y^{2}=1$
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\dfrac{2(x^{2}+6xy)}{1+2xy+2y^{2}}$

Trần Lộc Nguyên đã viết:Bài 11: Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức $x^{2}+y^{2}=1$
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\dfrac{2(x^{2}+6xy)}
{1+2xy+2y^{2}}$

Bài 12: Cho 2 số thực x,y thay đổi thỏa mãn : $x^{2}-xy+y^{2}=1$
Tìm max và min của biểu thức:
$P=\dfrac{(x^{2}-1)^{2}+(y^{2}-1)^{2}+2xy(xy-1)+3}{x^{2}+y^{2}+3}$
Bài 13: Cho hàm số $f:\left ( 0,+\infty  \right )\rightarrow R$ thảo mãn điều kiện :
$f(tan2x)=tan^{4}x+\dfrac{1}{tan^{4}x}, \forall x\epsilon (0;\dfrac{\pi }{4})$
CMR min của hàm số $g(x)=f(sinx)+f(cosx)$ trên $(0;\dfrac{\pi }{2})$ là 196

Marie Curie đã viết:Bài 12: Cho 2 số thực x,y thay đổi thỏa mãn : $x^{2}-xy+y^{2}=1$
Tìm max và min của biểu thức:
$P=\dfrac{(x^{2}-1)^{2}+(y^{2}-1)^{2}+2xy(xy-1)+3}{x^{2}+y^{2}+3}$
Bài 13: Cho hàm số $f:\left ( 0,+\infty  \right )\rightarrow R$ thảo mãn điều kiện :
$f(tan2x)=tan^{4}x+\frac{1}{tan^{4}x}, \forall x\epsilon (0;\frac{\pi }{4})$
CMR min của hàm số $g(x)=f(sinx)+f(cosx)$ trên $(0;\frac{\pi }{2})$ là 196

Trần Lộc Nguyên đã viết:Bài 10: Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0. Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=3^{\left | x-y \right |}+3^{\left | y-z \right |}+3^{\left | z-x \right |}-\sqrt{6x^{2}+6y^{2}+6z^{2}}$

Bài 14: (Sáng tác-Đinh Xuân Hùng)Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $xyz+4\geq 2(x+y+z)$.Tìm GTLN của biểu thức:$$\dfrac{\sqrt{2x^2-4x+4}+\sqrt{2y^2-4y+4}+\sqrt{2z^2-4z+4}}{2(x+y+z)^2}+\dfrac{9}{xyz+4}$$

Đinh Xuân Hùng đã viết:

Bài 14 (Sáng tác-Đinh Xuân Hùng)Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $xyz+4\geq 2(x+y+z)$.Tìm GTLN của biểu thức:$$\dfrac{\sqrt{2x^2-4x+4}+\sqrt{2y^2-4y+4}+\sqrt{2z^2-4z+4}}{2(x+y+z)^2}+\dfrac{9}{xyz+4}$$

Trần Lộc Nguyên đã viết:

Đinh Xuân Hùng đã viết:

Bài 14 (Sáng tác-Đinh Xuân Hùng)Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $xyz+4\geq 2(x+y+z)$.Tìm GTLN của biểu thức:$$\dfrac{\sqrt{2x^2-4x+4}+\sqrt{2y^2-4y+4}+\sqrt{2z^2-4z+4}}{2(x+y+z)^2}+\dfrac{9}{xyz+4}$$

Bài này mình áp dụng khá nhiều bất đẳng thức:
Ta có: $xyz+4\geq 2(x+y+z)\geq 2.3\sqrt[3]{xyz}\Leftrightarrow xyz\leq 8$
Áp dụng bđt Min-cop-xki:
$\dfrac{\sqrt{2x^2-4x+4}+\sqrt{2y^2-4y+4}+\sqrt{2z^2-4z+4}}{2(x+y+z)^2}+\dfrac{9}{xyz+4}$
$\geq \dfrac{\sqrt{2}.\sqrt{(x+y+z-3)^{2}+3^{2}}}{2(x+y+z)^{2}}+\dfrac{9}{xyz+4}$
$\geq \dfrac{\sqrt{2}.\dfrac{x+y+z}{\sqrt{2}}}{2(x+y+z)^{2}}+\dfrac{9}{xyz+4}\geq \dfrac{10}{xyz+4}\geq \dfrac{5}{6}$
Dấu bằng xảy ra tại $x=y=z=2$