Bài toán: Tìm tất cả những số m sao cho phương trình:
$$x^{2}-2x[x]+x-m=0(1)$$
có hai nghiệm không âm (kí hiệu $[x]$ chỉ sô nguyên lớn nhất không vượt quá x)
Lời giải: Đặt $[x]=y, x-[x]=z$
Phương trình đã cho tương đương với $z^{2}+z-y^{2}+y-m=0$
Trong đó y là số nguyên và $0\leq z<1$
Ta tìm z theo y được:
$z=\dfrac{-1\pm \sqrt{\Delta }}{2}$ với $\Delta =1+4(y^{2}-y+m)$
Kết hợp với điều kiện $z\geq 0$ ta có:
$z=\dfrac{\sqrt{\Delta }-1}{2}$ (2) với $0\leq \dfrac{\sqrt{\Delta }-1}{2}\leq 1$
:arrow: Hay: $1\leq \Delta $0\leq y^{2}-y+m<2$
Gọi $x_{1},x_{2}$ ($x_{1}>x_{2}$) là hai nghiệm không âm của (1) và
$[x_{i}]=y_{i}\geq 0,x_{i}-[x_{i}]=z_{i}$ (i=1,2)
Đẳng thức $y_{1}=y_{2}$ không xảy ra được vì từ (2): $y_{1}=y_{2}$ thì $x_{1}=x_{2}$ trái với bài ra.
Vậy $y_{1}>y_{2}$.
Nhưng từ (3): $0\leq y_{i}^{2}-y_{i}+m<2 (i=1,2) (4)$
và $\left | y_{1}^{2}-y_{1}-y_{2}^{2}+y_{2} \right |<2, (y_{1}-y_{2})\left | y_{1}+y_{2}-1 \right |<2$.
Do $y_{1}$ và $y_{2}$ nguyên và $y_{1}-y_{2}\geq 1$ nên
Hoặc là $\left | y_{1}+y_{2}-1 \right |=1$ hoặc $\left | y_{1}+y_{2}-1 \right |=0$
Trong trường hợp thứ nhất: $\left | y_{1}+y_{2}-1 \right |=1$
Ta có: $y_{1}+y_{2}=2$ và $y_{1}=2$ và $y_{1}=2,y_{2}=0$, như thế $(y_{1}-y_{2})\left | y_{1}+y_{2}-1 \right |=2$, mâu thuẫn!
Trong trường hợp hai: $\left | y_{1}+y_{2}-1 \right |=0$
Ta có: $y_{1}+y_{2}=1$ và từ $y_{1}>y_{2}\geq 0$ suy ra $y_{1}=1,y_{2}=0$
Từ đó: $x_{1,2}=\dfrac{\sqrt{1+4m}\pm 1}{2}$.
Rõ ràng phương trình đã cho không có trên 2 nghiệm không âm phân biệt. Vậy từ bất đẳng thức (4) tương đương với các điều kiện (3) ta có: $0\leq m<2$
Kết luận: Giá trị m cần tìm là $0\leq m<2$($\square $)