Trương Đàm Thái Vinh đã viết:

Đề thi thử đại học năm 2015 - 2016

Đề số 3

Câu 1 (2đ):
Cho hàm số: $y = \frac{{3x - 1}}{{2x + 1}}$      $(1)$    
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1)
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị m, đường thẳng ${d_m}:y =  - x + m$ luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt. Tìm GTNN độ dài đoạn nối 2 điểm đó.

Câu 2 (1đ):
a) Giải PT: $c{\rm{os}}2x - 3\sin 2x + 5\sqrt 2 \sin (x + \frac{{9\pi }}{4}) = 3$
b) Giải hpt: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x + \frac{{3x - y}}{{{x^2} + {y^2}}} = 3}\\
{y - \frac{{x + 3y}}{{{x^2} + {y^2}}} = 0}
\end{array}} \right.(x,y \in R)$

Câu 3 (0.5đ):
Giải hpt sau $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x^2} - 2{y^2} - xy - 3y - 1 = 0}\\
{{2^{x + 1}} + {2^{y + 2}} = 5}
\end{array}} \right.$

Câu 4 (1đ):
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: $y = \sqrt {4 - \frac{{{x^2}}}{4}} $ và $y = \frac{{{x^2}}}{{4\sqrt 2 }}$

Câu 5 (1đ):
Cho hình chóp SABC có $AB = AC = a$. $\angle BAC = {120^0}$. Các mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy và mặt phẳng (SBC) tạo với đáy góc $\alpha $. Tính thể tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp.

Câu 6 (1đ):
a) Xác định tọa độ các đỉnh, tọa độ các tiêu điểm, phương trình hai đường chuẩn và tính độ dài các trục của elip $(E):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{4} = \frac{1}{{100}}$
b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip: $(E):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1(a > b > 0)$. Tính tâm sai của (E) biết khoảng cách giữa 2 đỉnh trên 2 trục bằng độ dài tiêu cự.

Câu 7 (1đ):
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng ${d_1}:\frac{x}{2} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{1}$; ${d_2}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{1}$ và điểm $A(1; - 1;2)$. Tìm tọa độ điểm B,C lần lượt thuộc ${d_1}$ và ${d_2}$ sao cho đường thẳng BC nằm trong mặp phẳng đi qua A và đường thẳng ${d_1}$, đồng thời AC=2AB và điểm B có hoành độ dương

Câu 8 (0.5đ):
Một tổ học sinh gồm 9 em , trong đó có 3 nữ được chia thành 3 nhóm đều nhau . Tính XS để mỗi nhóm có 1 nữ.

Câu 9 (1đ):
Giải PT: $\sqrt[3]{{x + 6}} + \sqrt {x - 1}  = {x^2} - 1$

Câu 10 (1đ):
Cho a,b,c >0 thỏa mãn: ${a^2} + {b^2} + {c^2} = 1$.
Chứng minh rằng: $\frac{1}{{1 - a}} + \frac{1}{{1 - b}} + \frac{1}{{1 - c}} \ge \frac{{3\sqrt 3  + 9}}{2}$

------------------- Hết -----------------

Em xin giải bài 10 như sau
Từ đề bài, ta có:
$1-a^{2}=(1+a)(1-a)=b^{2}+c^{2}\Rightarrow \frac{1}{1-a}=\frac{a+1}{b^{2}+c^{2}}$
Các đẳng thức tương tự:
$\frac{1}{1-b}=\frac{b+1}{c^{2}+a^{2}}\\\frac{1}{1-c}=\frac{c+1}{a^{2}+b^{2}}$
$BDT\Leftrightarrow \sum \frac{a+1}{b^{2}+c^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}+9}{2}$
Áp dụng BĐT CauChy-Schwarz, ta có:
$\frac{1}{b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{9}{2}$       (1)
$\sum \frac{a}{b^{2}+c^{2}}=\sum \frac{a}{1-a^{2}}$
Ta sẽ chứng minh $1-a^{2}\leq \frac{2\sqrt{3}}{9a}$ với mọi $a$ dương, thật vậy:
$1-a^{2}\leq \frac{2\sqrt{3}}{9a}\Leftrightarrow 9a(1-a^{2})\leq 2\sqrt{3}\\\Leftrightarrow 9a^{3}-9a+2\sqrt{3}\geq 0\Leftrightarrow (a\sqrt{3}-1)^{2}(3a+1\sqrt{3})\geq 0$
đúng
Vậy
$\sum \frac{a}{b^{2}+c^{2}}=$$\sum \frac{a}{1-a^{2}}\geq \sum \frac{a}{\frac{2\sqrt{3}}{9a}}=\sum \frac{3\sqrt{3}}{2}a^{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$  (2)

Cộng từng vế (1) và (2) ta có điều phải chứng minh