anhxtanh2000 đã viết:Cho a, b, c> 0. CMR:
$\sum \dfrac{a^{4}}{a^{4} + \sqrt[3]{(a^{6} + b^{6})(a^{3} + c^{3})^{2}}} \leq 1$

Áp dụng BĐT $Holder$ ta có:
$(a^6+b^6)(a^3+b^3)(a^3+b^3)\geq (a^4+b^2c^2)^3$

$\Rightarrow \dfrac{a^4}{a^4+\sqrt[3]{(a^6+b^6)(a^3+b^3)^2}}\leq \dfrac{a^4}{2a^4+b^2c^2}$

CMTT rồi suy ra:$\sum  \dfrac{a^4}{a^4+\sqrt[3]{(a^6+b^6)(a^3+b^3)^2}}\leq \sum \dfrac{a^4}{2a^4+b^2c^2}$

Bây giờ ta sẽ đi chứng minh:$\sum \dfrac{a^4}{2a^4+b^2c^2}\leq 1$

$\Leftrightarrow \sum \dfrac{b^2c^2}{2a^4+b^2c^2}\geq 1$

$\Leftrightarrow \sum \dfrac{b^4c^4}{2a^4b^2c^2+b^4c^4}\geq 1$

Mặt khác:Áp dụng BĐT $C-S$ ta có:$\sum \dfrac{b^4c^4}{2a^4b^2c^2+b^4c^4}\geq \dfrac{(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)^2}{(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)^2}=1$
$\Rightarrow$ ĐPCM