Hữu Tường Tú đã viết:Cho $a,b,c>0$. Tìm Min
$\dfrac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\dfrac{(a+b+c)^{3}}{abc}$

Áp dụng bất đẳng thức Co-si:
$(a^3+b^3+c^3)(a+b+c)\geq (a^2+b^2+c^2)^2\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\geq \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^ 2}{a+b+c}$
Ta có: $P=\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{(a+b+c)^3}{abc}= \dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}\geq \dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{abc(a+b+c)}+24
\geq \dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{3(a^2+b^2+c^2)^2}{(ab+bc+ca)^2}+24$
Đặt $\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}=x\Rightarrow x\geq 1$
$\Rightarrow P\geq 3x^2+\dfrac{1}{x}+24=3(x-1)^2+6x+\dfrac{1}{x}+21\geq x+\frac{1}{x}+5x+21\geq 2+5+21=28$
Dấu bằng $\Leftrightarrow a=b=c$

Hữu Tường Tú đã viết:Cho $a,b,c>0$. Tìm Min
$\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{(a+b+c)^{3}}{abc}$

Áp dụng AM-GM :
$\dfrac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\dfrac{(a+b+c)^{3}}{27abc}+\dfrac{(a+b+c)^{3}}{27abc}\geq 3\sqrt[3]{\dfrac{(ab+bc+ca)(a+b+c)^6}{729(a^2+b^2+c^2)a^2b^2c^2}}$
Mà $(a+b+c)^6=(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)^3\geq 27(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2$
Nên
$\dfrac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\dfrac{2(a+b+c)^{3}}{27abc}\geq 3\sqrt[3]{\dfrac{(ab+bc+ca)^3}{27a^2b^2c^2}}\geq 3$
Lại có $\dfrac{25(a+b+c)^3}{27abc}\geq 25$
Nên $\dfrac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\dfrac{(a+b+c)^{3}}{abc}\geq 28$