Diễn đàn Trung học Phổ Thông

CHÚ Ý : Các thành viên tham gia Diễn đàn Trung học Phổ Thông cần đọc kĩ cách đặt tiêu đề,cách gõ $\LaTeX$ đúng quy định.

You are not connected. Please login or register

 
 

CMR: $\dfrac{a^{2}+b^{2}}{ab+1}$ là một số chính phương

Thông điệp (Trang 1 trong tổng số 1 trang)

#1

๖ۣۜTFM_๖ۣۜDragon

๖ۣۜTFM_๖ۣۜDragon
 
Phó Tư Lệnh
Phó Tư Lệnh

Posted Tue Oct 20, 2015 10:05 pm

 

Cho hai số nguyên dương $a, b$ thoả mãn $ab+1\mid a^{2}+b^{2}$. CMR: $\dfrac{a^{2}+b^{2}}{ab+1}$ là một số chính phương



Được sửa bởi viet nam in my heart ngày Fri Oct 23, 2015 9:17 pm; sửa lần 1. (Reason for editing : Dùng \dfrac thay \frac để hiển thị phân số)



Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.




#2

huykinhcan99

huykinhcan99
 
Thành viên mới
Thành viên mới

Posted Tue Oct 20, 2015 11:05 pm

 

Giả sử $\dfrac{a^2+b^2}{ab+1} = k \in \mathbb{N}$. Khi đó,
\begin{equation} \tag{1} \label{eq:1} a^2 − kab + b^2 = k \end{equation}
Phản chứng, giả sử $k$ không phải là số chính phương, thế thì $k \geqslant 2$.
Giả sử $(a,b)$ là các giá trị nhỏ nhất thỏa mãn \eqref{eq:1}
Không giảm tổng quát, giả sử $a\geqslant b$.
Nếu $a = b$ thì $k = (2 − k)a^2 \leqslant 0$; vậy $a>b$

Xét phương trình
\begin{equation} \tag{2} \label{eq:2} x^2 − kbx + b^2 − k = 0 \end{equation}
Giả sử $a_1$ là nghiệm khác $a$ của \eqref{eq:2}
Theo hệ thức $Viète$ thì $a + a_1 = kb$, suy ra $a_1 \in \mathbb{Z}$.
TH1. Nếu $a > kb$ thì $a-kb\geqslant 1$, khi đó $k=(a-kb)a+b^2\geqslant a + b^2 > kb$, suy ra $b<1$, mâu thuẫn với $b$ nguyên dương.
TH2. Nếu $a = kb$ thì $k = b^2$, mâu thuẫn giả thiết phản chứng.
TH3. Nếu $a < kb$ thì $k < b^2$
Vì $a.a_1 = b^2 − k > 0$  ($Viète$) và $a > 0$
Ta có ngay $a_1 \in \mathbb{N}$ và $a_1=\dfrac{b^2-k}{a}<\dfrac{a^2-k}{a}< a$

Khi đó, ta thấy tồn tại $(a_1, b)$ với $0 < a1 < a$ thỏa mãn \eqref{eq:1}, mâu thuẫn với cách chọn $(a,b)$ là nhỏ nhất.

Vậy tóm lại, $k$ phải là số chính phương

Spoiler:

Thông điệp (Trang 1 trong tổng số 1 trang)


  • Total Posts:
  • Total Members:
  • Newest Member:
  • Most Online: Số người truy cập cùng lúc nhiều nhất là 61 người, vào ngày Sat Jul 29, 2017 12:27 pm

Hiện có 0 người đang truy cập Diễn Đàn, gồm: 0 Thành viên, 0 Thành viên ẩn danh và 0 Khách viếng thăm
Đang truy cập Diễn Đàn này: Không