Cho $a, b, c> 0$. CMR:
$8(\dfrac{a^{2}}{b^{2}}+\dfrac{b^{2}}{c^{2}}+\dfrac{c^{2}}{a^{2}})+\dfrac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq 25$

P/s: Không dùng chuẩn hoá

Áp dụng BĐT Holder ta có :
$$\left (\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\right )(ab+bc+ca)(b+c+a)\geq (a+b+c)^3$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\geq \dfrac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}$$
Nên ta chỉ cần chứng minh
$$\dfrac{8(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}+\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\geq 25$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{8(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}+\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\geq 9$$
Áp dụng AM-GM :
$$\dfrac{(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}+\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\geq 2$$
Lại có $$\dfrac{7(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}\geq 7$$
Cộng lại ta có đpcm