Diễn đàn Trung học Phổ Thông

CHÚ Ý : Các thành viên tham gia Diễn đàn Trung học Phổ Thông cần đọc kĩ cách đặt tiêu đề,cách gõ $\LaTeX$ đúng quy định.

You are not connected. Please login or register

 
 

$8(\dfrac{a^{2}}{b^{2}}+\dfrac{b^{2}}{c^{2}}+\dfrac{c^{2}}{a^{2}})+\dfrac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq 25$

Thông điệp (Trang 1 trong tổng số 1 trang)

#1

๖ۣۜTFM_๖ۣۜDragon

๖ۣۜTFM_๖ۣۜDragon
 
Phó Tư Lệnh
Phó Tư Lệnh

Posted Tue Oct 20, 2015 10:19 pm

 

Cho $a, b, c> 0$. CMR:
$8(\dfrac{a^{2}}{b^{2}}+\dfrac{b^{2}}{c^{2}}+\dfrac{c^{2}}{a^{2}})+\dfrac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq 25$

P/s: Không dùng chuẩn hoá



Được sửa bởi viet nam in my heart ngày Fri Oct 23, 2015 9:12 pm; sửa lần 2. (Reason for editing : Dùng \dfrac thay \frac để hiển thị phân số)



Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.




#2

hoanglong2k

hoanglong2k
 
Phó Tư Lệnh
Phó Tư Lệnh

Posted Thu Oct 22, 2015 10:54 am

 

Áp dụng BĐT Holder ta có :
$$\left (\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\right )(ab+bc+ca)(b+c+a)\geq (a+b+c)^3$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\geq \dfrac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}$$
Nên ta chỉ cần chứng minh
$$\dfrac{8(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}+\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\geq 25$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{8(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}+\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\geq 9$$
Áp dụng AM-GM :
$$\dfrac{(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}+\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\geq 2$$
Lại có $$\dfrac{7(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}\geq 7$$
Cộng lại ta có đpcm

Thông điệp (Trang 1 trong tổng số 1 trang)


  • Total Posts:
  • Total Members:
  • Newest Member:
  • Most Online: Số người truy cập cùng lúc nhiều nhất là 61 người, vào ngày Sat Jul 29, 2017 12:27 pm

Hiện có 0 người đang truy cập Diễn Đàn, gồm: 0 Thành viên, 0 Thành viên ẩn danh và 0 Khách viếng thăm
Đang truy cập Diễn Đàn này: Không