Diễn đàn Trung học Phổ Thông

CHÚ Ý : Các thành viên tham gia Diễn đàn Trung học Phổ Thông cần đọc kĩ cách đặt tiêu đề,cách gõ $\LaTeX$ đúng quy định.

You are not connected. Please login or register

 
 

$\dfrac{1}{2ab^{2}+1}+\dfrac{1}{2bc^{2}+1}+\dfrac{1}{2ca^{2}+1}\geq 1$

Thông điệp (Trang 1 trong tổng số 1 trang)

#1

๖ۣۜTFM_๖ۣۜDragon

๖ۣۜTFM_๖ۣۜDragon
 
Phó Tư Lệnh
Phó Tư Lệnh

Posted Thu Oct 22, 2015 1:12 pm

 

Cho $a,b,c> 0$ thoả mãn $a+b+c=3$.CMR:
$\dfrac{1}{2ab^{2}+1}+\dfrac{1}{2bc^{2}+1}+\dfrac{1}{2ca^{2}+1}\geq 1$



Được sửa bởi viet nam in my heart ngày Thu Oct 22, 2015 5:43 pm; sửa lần 1. (Reason for editing : Thay \frac bằng \dfrac)



Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.
#2

viet nam in my heart

viet nam in my heart
 
Phó Tư Lệnh
Phó Tư Lệnh

Posted Sun Oct 25, 2015 8:19 pm

 

anhxtanh2000 đã viết:Cho $a,b,c> 0$ thoả mãn $a+b+c=3$.CMR:
$\dfrac{1}{2ab^{2}+1}+\dfrac{1}{2bc^{2}+1}+\dfrac{1}{2ca^{2}+1}\geq 1$
Bài này không khó.
Theo bất đẳng thức $AM-GM$ ta có: $abc \leq (\dfrac{a+b+c}{3})^3=1$
Do đó:$2ab^2+1 \leq 2\dfrac{b}{c}+1=\dfrac{2b+c}{c}$
Chứng minh tương tự ta có: $2bc^2+1 \leq \dfrac{2c+a}{a},2ca^2+1 \leq \dfrac{2a+b}{b}$
Suy ra chỉ cần chứng minh $\dfrac{c}{2b+c}+\dfrac{a}{2c+a}+\dfrac{b}{2a+b}\geq 1$
Theo bất đẳng thức $Cauchy-Schawrz$ ta lại có:
$$\dfrac{c}{2b+c}+\dfrac{a}{2c+a}+\dfrac{b}{2a+b}=\dfrac{c^2}{2bc+c^2}+\dfrac{a^2}{2ca+a^2}+\dfrac{b^2}{2ab+b^2}\geq 1$$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$

#3

hoanglong2k

hoanglong2k
 
Phó Tư Lệnh
Phó Tư Lệnh

Posted Tue Oct 27, 2015 11:21 pm

 

anhxtanh2000 đã viết:Cho $a,b,c> 0$ thoả mãn $a+b+c=3$.CMR:
$\dfrac{1}{2ab^{2}+1}+\dfrac{1}{2bc^{2}+1}+\dfrac{1}{2ca^{2}+1}\geq 1$
Thực ra bài này "rất dễ" :pale:
Ta có $\textrm{BĐT}\Leftrightarrow \sum \dfrac{ab^2}{2ab^2+1}\leq 1$
Áp dụng AM-GM thì $2ab^2+1\geq 3b\sqrt[3]{a^2b}$
$\Rightarrow \dfrac{ab^2}{2ab^2+1}\leq \dfrac{1}{3}\sum \sqrt[3]{ab^2}$
Chỉ cần chú ý rằng $\sqrt[3]{ab^2}\leq \dfrac{1}{3}.(a+2b)$ là xong

#4

Sponsored content


 

Posted

 





Thông điệp (Trang 1 trong tổng số 1 trang)


  • Total Posts:
  • Total Members:
  • Newest Member:
  • Most Online: Số người truy cập cùng lúc nhiều nhất là 61 người, vào ngày Sat Jul 29, 2017 12:27 pm

Hiện có 0 người đang truy cập Diễn Đàn, gồm: 0 Thành viên, 0 Thành viên ẩn danh và 0 Khách viếng thăm
Đang truy cập Diễn Đàn này: Không