anhxtanh2000 đã viết:Cho $a,b,c> 0$ thoả mãn $a+b+c=3$.CMR:
$\dfrac{1}{2ab^{2}+1}+\dfrac{1}{2bc^{2}+1}+\dfrac{1}{2ca^{2}+1}\geq 1$

Bài này không khó.
Theo bất đẳng thức $AM-GM$ ta có: $abc \leq (\dfrac{a+b+c}{3})^3=1$
Do đó:$2ab^2+1 \leq 2\dfrac{b}{c}+1=\dfrac{2b+c}{c}$
Chứng minh tương tự ta có: $2bc^2+1 \leq \dfrac{2c+a}{a},2ca^2+1 \leq \dfrac{2a+b}{b}$
Suy ra chỉ cần chứng minh $\dfrac{c}{2b+c}+\dfrac{a}{2c+a}+\dfrac{b}{2a+b}\geq 1$
Theo bất đẳng thức $Cauchy-Schawrz$ ta lại có:
$$\dfrac{c}{2b+c}+\dfrac{a}{2c+a}+\dfrac{b}{2a+b}=\dfrac{c^2}{2bc+c^2}+\dfrac{a^2}{2ca+a^2}+\dfrac{b^2}{2ab+b^2}\geq 1$$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$

anhxtanh2000 đã viết:Cho $a,b,c> 0$ thoả mãn $a+b+c=3$.CMR:
$\dfrac{1}{2ab^{2}+1}+\dfrac{1}{2bc^{2}+1}+\dfrac{1}{2ca^{2}+1}\geq 1$

Thực ra bài này "rất dễ" :pale:
Ta có $\textrm{BĐT}\Leftrightarrow \sum \dfrac{ab^2}{2ab^2+1}\leq 1$
Áp dụng AM-GM thì $2ab^2+1\geq 3b\sqrt[3]{a^2b}$
$\Rightarrow \dfrac{ab^2}{2ab^2+1}\leq \dfrac{1}{3}\sum \sqrt[3]{ab^2}$
Chỉ cần chú ý rằng $\sqrt[3]{ab^2}\leq \dfrac{1}{3}.(a+2b)$ là xong