Bài viết này có lẽ cũng là bài viết đầu của mình trên diễn đàn. Mình tổng hợp từ nhiều nguồn nên có thể sẽ trùng lặp. Hi vọng mọi người đón nhận và có thể sáng tạo những cách giải độc đáo. Ở từng phương pháp hi vọng những bài tập hay hơn nữa từ các nguồn của các bạn.
I. Phương pháp sử dụng nguyên lý Dirichlet trong chứng minh bất đẳng thức
1. Cơ sở và lý thuyết
-Nguyên lý Dirichlet: Nếu như một số lượng $n$ vật thể được đặt vào $m$ chuồng bồ câu, với điều kiện $n > m$, thì ít nhất một chuồng bồ câu sẽ có nhiều hơn $1$ vật thể.
-Ứng dụng vào chứng minh bất đẳng thức:
+Trong khi đánh giá một bất đẳng thức đã chọn được điểm rơi. Chẳng hạn đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=k$. Thông thường chúng ta đã quen thuộc với các đánh giá tổng lớn hơn tích qua đánh giá $(a+b)^2 \geq 4ab \forall a,b \in \mathbb{R} $. Nhưng nếu Áp dụng nguyên lý Dirichlet với 3 số $a-k,b-k,c-k$ thì sẽ tồn tại 2 số có tích không âm. Giả sử $(a-k)(b-k) \geq 0 \Leftrightarrow ab+k^2 \geq k(a+b)$.
+ Đôi khi làm bất đẳng thức nhưng chưa biết điểm rơi ta vẫn có thể sử dụng nguyên lý Dirichlet.
2. Bài tập ví dụ
Ví dụ 1Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng $$a^2+b^2+c^2+2abc+1 \geq 2(ab+bc+ca)$$
Lời giải
Ta dự đoán đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
Do đó theo nguyên lý Dirichet ta sẽ giả sử $(a-1)(b-1) \geq 0 \Leftrightarrow ab+1 \geq a+b (1)$
Nhân cả 2 vế của $(1)$ với $c$ ta được: $abc+c \geq ac+bc$
Do đó chỉ cần chứng minh $a^2+b^2+c^2+1 \geq 2c+2ab \Leftrightarrow (a-b)^2+(c-1)^2 \geq 0$ (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$
Đây là một bài toán đã quen thuộc và có rất nhiều cách làm khác nhau tuy nhiên cách làm sử dụng nguyên lý Dirichlet có lẽ là hay và độc đáo hơn cả.
Ví dụ 2Cho $a,b,c$ là ba số dương. Đặt $x=a+\dfrac{1}{b},y= b+\dfrac{1}{c},z= c+\dfrac{1}{a}$. Chứng minh rằng:
$$xy+yz+zx \geq 2(x+y+z)$$
Lời giải
Ở bài này điểm rơi không phải là $x=y=z=1$ mà là $x=y=z=2$. Do đó ta sẽ giả sử $(x-2)(y-2) \geq 0$
Suy ra $xy+4 \geq 2x+2y$
Do đó ta chỉ cần chứng minh $yz+zx \geq 2z+4 \Leftrightarrow z(y+x-2) \geq 4$
Thay ngược trở lại từ giả thiết ta có:
$z(x+y-2)=(c+\dfrac{1}{a})(a+\dfrac{1}{b}+b+\dfrac{1}{c}-2) \geq (c+\dfrac{1}{a})(a+\dfrac{1}{c}) \geq 2\sqrt{\dfrac{c}{a}}.2\sqrt{\dfrac{a}{c}}=4$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$
Ví dụ 3(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên Phạn Bội Châu, Nghệ An 2015-2016)
Cho $a,b,c$ là các số thực. Chứng minh rằng: $(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) \geq \dfrac{3}{4}(a+b+c)^2$
Lời giải
Khai triển bất đẳng thức ta cần chứng minh $4a^2b^2c^2+4\sum a^2b^2 +\sum a^2 +4 \geq 6 \sum ab$
Theo nguyên lý Dirichlet ta sẽ giả sử $(2a^2-1)(2b^2-1)\geq 0\Leftrightarrow c^2(2a^2-1)(2b^2-1)\geq 0\Leftrightarrow 4a^2b^2c^2+c^2\geq 2a^2c^2+2b^2c^2$
Do đó ta chỉ cần chứng minh $4\sum a^2b^2+a^2+b^2+4+2a^2c^2+2b^2c^2\geq 6\sum ab$
                                       $\Leftrightarrow (a-b)^2+(2ab-1)^2+\dfrac{3(2bc-1)^2}{2}+\dfrac{3(2ac-1)^2}{2}\geq 0$(luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\pm \dfrac{1}{\sqrt2}$
3. Bài tập áp dụng
Bài tập 1a)(VMO 1996) Cho $x,y,z >0$ thỏa mãn $xy+yz+zx+xyz=4$. Chứng minh rằng $x+y+z \geq xy+yz+zx$
                    b) Cho $x,y,z >0$ thỏa mãn $xy+yz+zx+xyz=4$. Chứng minh rằng $$x+y+z +\dfrac{1}{4}min((x-y)^2,(y-z)^2,(z-x)^2)\geq 3 $$
                    c)(PTNK, 2014) Cho $x,y,z >0$ thỏa mãn $(x+1)(y+1)(z+1)=1+4xyz$. Chứng minh rằng$x+y+z \leq 1+xyz$
Bài tập 2a) (UK TST 2005) Cho $x,y,z >0$ thỏa mãn $xyz=1$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{x+3}{(x+1)^2}+\dfrac{y+3}{(y+1)^2}+\dfrac{z+3}{(z+1)^2} \geq 3$$
                    b) Cho 3 số thực $x,y,z$. Chứng minh rằng: $(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) \geq \dfrac{5}{16}(a+b+c+1)^2$
                    c) Cho 3 số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=0$. Chứng minh rằng $(2a^2 + bc)(2b^2 + ca)(2c^2 + ab) \leq 0$
Bài tập 3 Cho 3 số $x,y,z >0$ thỏa mãn $xyz=1$. Chứng minh rằng:
$$\sqrt{9+16x^2}+\sqrt{9+16y^2}+\sqrt{9+16z^2}\geq 3+4(x+y+z)$$
Quy định
-Phải tuân thủ quy định của diễn đàn.
-Khi post bài hoặc làm bài phải sử dụng TIẾNG VIỆT CÓ DẤU không viết tắt
-Chỉ được đăng từ 1 đến 3 bài mới sau khi có người giải mới được đăng tiếp. Khi đăng bài phải có số thứ tự
Mọi câu trả lời phá hoại topic sẽ bị xóa mà không cần báo trước.