Thông điệp (Trang 1 trong tổng số 1 trang)
Posted Sun Oct 25, 2015 10:38 pm
Cho $a,b,c >0$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} \geq \dfrac{9\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(a+b+c\right)^2}$$
Posted Mon Oct 26, 2015 8:01 pm
$VP-3=\dfrac{3[\sum (a-b)^{2} ]}{(\sum a)^{2}}$
$(\sum a).(VT-3)= \sum (\dfrac{a^{2}}{b}+b-2a)+\sum (\dfrac{ab}{c})-\sum a
=\sum (a-b)^{2}(\dfrac{1}{b}+\dfrac{c}{2ab})$
Kết hợp hai phương trình, ta đưa được bất đẳng thức về dạng S-O-S. 
Posted Mon Oct 26, 2015 8:06 pm
Làm tiếp đi bạn Homura đã viết:$VP-3=\dfrac{3[\sum (a-b)^{2} ]}{(\sum a)^{2}}$
$(\sum a).(VT-3)= \sum (\dfrac{a^{2}}{b}+b-2a)+\sum (\dfrac{ab}{c})-\sum a
=\sum (a-b)^{2}(\dfrac{1}{b}+\dfrac{c}{2ab})$
Kết hợp hai phương trình, ta đưa được bất đẳng thức về dạng S-O-S.
Posted Wed Oct 28, 2015 1:53 am
Áp dụng BĐT phụ $(x+y+z)^3\geq \dfrac{27}{4}(x^2y+y^2z+z^2x+xyz)$ ta được :viet nam in my heart đã viết:Cho $a,b,c >0$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} \geq \dfrac{9\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(a+b+c\right)^2}$$
$$\left (\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right )^3\geq \dfrac{27}{4}\left (\dfrac{a^2}{bc}+\dfrac{b^2}{ca}+\dfrac{c^2}{ab}+1\right )\Leftrightarrow \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\geq \sqrt[3]{\dfrac{27}{4}\left (\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc}+1\right )}$$
Nên ta chỉ cần chứng minh :
$$\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc}+1\geq \dfrac{108(a^2+b^2+c^2)^3}{(a+b+c)^6}$$
Chú ý rằng :
$$\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc}-3=\dfrac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}{abc}\geq \dfrac{3(a+b+c)^2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}{(ab+bc+ca)^2}$$
Nên ta chỉ cần chứng minh :
$$\dfrac{3(a+b+c)^2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}{(ab+bc+ca)^2}+4\geq \dfrac{108(a^2+b^2+c^2)^3}{(a+b+c)^6}$$
Đến đây dồn về một biến rồi biến đổi tương đương, có nhiều cách giải 
Có thể đặt $x=a^2+b^2+c^2;y=ab+bc+ca$ với $x\geq y$ và ta cần chứng minh :
$$\dfrac{3(x+2y)(x-y)}{y^2}+4\geq \dfrac{108x^3}{(x+2y)^3}\Leftrightarrow (x-y)(3x^4+24x^3y-32x^2y^2+16xy^3+16y^4)\geq 0$$
Luôn đúng vì $3x^4+24x^3y-32x^2y^2+16xy^3+16y^4=3x^4+8x^3y+16y^4+16xy(x-y)^2>0$
Hoặc đặt $t=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}$ hay $t=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}$ gì gì đó cũng được, xong cũng biến đổi tương đương.
Thôi, còn lại mấy bác tự xử, em đi ngủ 
Posted Wed Oct 28, 2015 10:48 am
Mặc dù bất đẳng thức phụ kia khá chặt nhưng nó sẽ yếu hơn bất đẳng thức sau:hoanglong2k đã viết:
Áp dụng BĐT phụ $(x+y+z)^3\geq \dfrac{27}{4}(x^2y+y^2z+z^2x+xyz)$ ta được :viet nam in my heart đã viết:Cho $a,b,c >0$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} \geq \dfrac{9\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(a+b+c\right)^2}$$
$$\left (\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right )^3\geq \dfrac{27}{4}\left (\dfrac{a^2}{bc}+\dfrac{b^2}{ca}+\dfrac{c^2}{ab}+1\right )\Leftrightarrow \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\geq \sqrt[3]{\dfrac{27}{4}\left (\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc}+1\right )}$$
$$2\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right) +1 \geq \dfrac{21\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(a+b+c \right)^2}$$
Thông điệp (Trang 1 trong tổng số 1 trang)
Similar topics
|
|
|
Hiện có 0 người đang truy cập Diễn Đàn, gồm: 0 Thành viên, 0 Thành viên ẩn danh và 0 Khách viếng thăm
Đang truy cập Diễn Đàn này: Không
Community Forum Powered by Forumotion | IP Board Theme
© Phpbb | Forumotion Support | Contact Us
Trang Chính