Diễn đàn Trung học Phổ Thông

CHÚ Ý : Các thành viên tham gia Diễn đàn Trung học Phổ Thông cần đọc kĩ cách đặt tiêu đề,cách gõ $\LaTeX$ đúng quy định.

You are not connected. Please login or register

 
 

$$\dfrac{\sqrt{a}}{2+b\sqrt{a}}+\dfrac{\sqrt{b}}{2+c\sqrt{b}}+\dfrac{\sqrt{c}}{2+a\sqrt{c}} \geq 1$$

Thông điệp (Trang 1 trong tổng số 1 trang)

#1

Bạch Lăng Lăng

Bạch Lăng Lăng
 
Hạ Sĩ
Hạ Sĩ

Posted Sun Oct 25, 2015 10:48 pm

 

Cho 3 số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{\sqrt{a}}{2+b\sqrt{a}}+\dfrac{\sqrt{b}}{2+c\sqrt{b}}+\dfrac{\sqrt{c}}{2+a\sqrt{c}} \geq 1$$


@MOD: Chú ý tiêu đề bài viết.



Được sửa bởi viet nam in my heart ngày Sun Oct 25, 2015 11:09 pm; sửa lần 2. (Reason for editing : Gõ latex hoặc quay cái ảnh lại bạn nhé :D)





#2

viet nam in my heart

viet nam in my heart
 
Phó Tư Lệnh
Phó Tư Lệnh

Posted Sun Oct 25, 2015 11:27 pm

 

Bạch Lăng Lăng đã viết:Cho 3 số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{\sqrt{a}}{2+b\sqrt{a}}+\dfrac{\sqrt{b}}{2+c\sqrt{b}}+\dfrac{\sqrt{c}}{2+a\sqrt{c}} \geq 1$$


@MOD: Chú ý tiêu đề bài viết.
Vì $abc=1$ nên tồn tại các số $x,y,z$ sao cho $\sqrt{a}=\dfrac{x}{y},\sqrt{b}=\dfrac{y}{z},\sqrt{c}=\dfrac{z}{x}$
Thay vào điều phải chứng minh ta chỉ cần chứng minh:
$$\dfrac{xz^2}{2yz^2+xy^2}+\dfrac{yx^2}{2zx^2+yz^2}+\dfrac{zy^2}{2xy^2+zx^2} \geq 1$$
Áp dụng Bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta có:
$$\dfrac{xz^2}{2yz^2+xy^2}+\dfrac{yx^2}{2zx^2+yz^2}+\dfrac{zy^2}{2xy^2+zx^2}=\dfrac{x^2z^2}{2xyz^2+x^2y^2}+\dfrac{y^2x^2}{2yzx^2+y^2z^2}+\dfrac{z^2y^2}{2zxy^2+z^2x^2} \geq 1$$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$

#3

Bạch Lăng Lăng

Bạch Lăng Lăng
 
Hạ Sĩ
Hạ Sĩ

Posted Mon Oct 26, 2015 3:42 pm

 

viet nam in my heart đã viết:
Bạch Lăng Lăng đã viết:Cho 3 số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{\sqrt{a}}{2+b\sqrt{a}}+\dfrac{\sqrt{b}}{2+c\sqrt{b}}+\dfrac{\sqrt{c}}{2+a\sqrt{c}} \geq 1$$


@MOD: Chú ý tiêu đề bài viết.
Vì $abc=1$ nên tồn tại các số $x,y,z$ sao cho $\sqrt{a}=\dfrac{x}{y},\sqrt{b}=\dfrac{y}{z},\sqrt{c}=\dfrac{z}{x}$
Thay vào điều phải chứng minh ta chỉ cần chứng minh:
$$\dfrac{xz^2}{2yz^2+xy^2}+\dfrac{yx^2}{2zx^2+yz^2}+\dfrac{zy^2}{2xy^2+zx^2} \geq 1$$
Áp dụng Bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta có:
$$\dfrac{xz^2}{2yz^2+xy^2}+\dfrac{yx^2}{2zx^2+yz^2}+\dfrac{zy^2}{2xy^2+zx^2}=\dfrac{x^2z^2}{2xyz^2+x^2y^2}+\dfrac{y^2x^2}{2yzx^2+y^2z^2}+\dfrac{z^2y^2}{2zxy^2+z^2x^2} \geq 1$$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$
oh i'm sorry Sad





#4

Trần Anh Tuấn

Trần Anh Tuấn
 
Hạ Sĩ
Hạ Sĩ

Posted Mon Oct 26, 2015 8:10 pm

 

bài này cũng có thể đổi biến căn x= 1/a và tương tự cũng sẽ ra



Chiều sâu là tâm hồn con người
#5

Sponsored content


 

Posted

 





Thông điệp (Trang 1 trong tổng số 1 trang)


  • Total Posts:
  • Total Members:
  • Newest Member:
  • Most Online: Số người truy cập cùng lúc nhiều nhất là 61 người, vào ngày Sat Jul 29, 2017 12:27 pm

Hiện có 0 người đang truy cập Diễn Đàn, gồm: 0 Thành viên, 0 Thành viên ẩn danh và 0 Khách viếng thăm
Đang truy cập Diễn Đàn này: Không