Marie Curie đã viết:Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp (O). AD cắt BC tại E, AC cắt BD tại F. M,N lần lượt là trung điểm của AB,CD. CMR : $\dfrac{2MN}{EF}=\left | \dfrac{AB}{CD} -\dfrac{CD}{AB}\right |$

Gọi $P$ là trung điểm của $EF$ thì dễ có $P,M,N$ thẳng hàng
Ta có bổ đề quen thuộc: $PF$ là tiếp tuyến của $(MFN)$
Khi đó: $\triangle PMF \backsim \triangle PFN(g.g)$
Từ đây ta dễ dàng suy ra: $PF^2=PM.PN$ và $\dfrac{PM}{PN}=\dfrac{FM^2}{FN^2}$
Vì tứ giác $ABCD$ nội tiếp nên $\triangle AFB \backsim \triangle DFC(g.g)$
Vì $M,N$ là trung điểm của $AB,CD$ nên $\dfrac{FM^2}{FN^2}=\dfrac{AB^2}{CD^2}$
Suy ra $\dfrac{PM}{PN}=\dfrac{AB^2}{CD^2}$
Do đó ta có: $\dfrac{MN^2}{PM.PN}=\dfrac{\left(PM-PN\right)^2}{PM.PN}=\dfrac{PM}{PN}+\dfrac{PN}{PM}-2=\dfrac{AB^2}{CD^2}+\dfrac{CD^2}{AB^2}-2=\left(\dfrac{AB}{CD}-\dfrac{CD}{AB}\right)^2$
Lại có: $EF^2=4PF^2=4PM.PN$. Suy ra $\left(\dfrac{2MN}{EF}\right)^2= \dfrac{MN^2}{PM.PN}=\left(\dfrac{AB}{CD}-\dfrac{CD}{AB}\right)^2$
Vậy $\dfrac{2MN}{EF}=\left | \dfrac{AB}{CD} -\dfrac{CD}{AB}\right |$