Diễn đàn Trung học Phổ Thông

CHÚ Ý : Các thành viên tham gia Diễn đàn Trung học Phổ Thông cần đọc kĩ cách đặt tiêu đề,cách gõ $\LaTeX$ đúng quy định.

You are not connected. Please login or register

 
 

$\dfrac{2MN}{EF}=\left | \dfrac{AB}{CD} -\dfrac{CD}{AB}\right |$

Thông điệp (Trang 1 trong tổng số 1 trang)

#1

Marie Curie

Marie Curie
 
Phó Tư Lệnh
Phó Tư Lệnh

Posted on Wed Oct 28, 2015 9:07 pm

 

Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp (O). AD cắt BC tại E, AC cắt BD tại F. M,N lần lượt là trung điểm của AB,CD. CMR : $\dfrac{2MN}{EF}=\left | \dfrac{AB}{CD} -\dfrac{CD}{AB}\right |$



Được sửa bởi haichau0401 ngày Wed Oct 28, 2015 9:12 pm; sửa lần 2. (Reason for editing : chuyển \frac thành \dfrac để hiển thị phân số to rõ hơn.)





#2

viet nam in my heart

viet nam in my heart
 
Phó Tư Lệnh
Phó Tư Lệnh

Posted on Wed Oct 28, 2015 10:09 pm

 

@Marie Curie đã viết:Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp (O). AD cắt BC tại E, AC cắt BD tại F. M,N lần lượt là trung điểm của AB,CD. CMR : $\dfrac{2MN}{EF}=\left | \dfrac{AB}{CD} -\dfrac{CD}{AB}\right |$
$\dfrac{2MN}{EF}=\left | \dfrac{AB}{CD} -\dfrac{CD}{AB}\right |$ Untitled63082
Gọi $P$ là trung điểm của $EF$ thì dễ có $P,M,N$ thẳng hàng
Ta có bổ đề quen thuộc: $PF$ là tiếp tuyến của $(MFN)$
Khi đó: $\triangle PMF \backsim \triangle PFN(g.g)$
Từ đây ta dễ dàng suy ra: $PF^2=PM.PN$ và $\dfrac{PM}{PN}=\dfrac{FM^2}{FN^2}$
Vì tứ giác $ABCD$ nội tiếp nên $\triangle AFB \backsim \triangle DFC(g.g)$
Vì $M,N$ là trung điểm của $AB,CD$ nên $\dfrac{FM^2}{FN^2}=\dfrac{AB^2}{CD^2}$
Suy ra $\dfrac{PM}{PN}=\dfrac{AB^2}{CD^2}$
Do đó ta có: $\dfrac{MN^2}{PM.PN}=\dfrac{\left(PM-PN\right)^2}{PM.PN}=\dfrac{PM}{PN}+\dfrac{PN}{PM}-2=\dfrac{AB^2}{CD^2}+\dfrac{CD^2}{AB^2}-2=\left(\dfrac{AB}{CD}-\dfrac{CD}{AB}\right)^2$
Lại có: $EF^2=4PF^2=4PM.PN$. Suy ra $\left(\dfrac{2MN}{EF}\right)^2= \dfrac{MN^2}{PM.PN}=\left(\dfrac{AB}{CD}-\dfrac{CD}{AB}\right)^2$
Vậy $\dfrac{2MN}{EF}=\left | \dfrac{AB}{CD} -\dfrac{CD}{AB}\right |$

Thông điệp (Trang 1 trong tổng số 1 trang)


  • Total Posts:
  • Total Members:
  • Newest Member:
  • Most Online: Số người truy cập cùng lúc nhiều nhất là 61 người, vào ngày Sat Jul 29, 2017 12:27 pm

Hiện có 0 người đang truy cập Diễn Đàn, gồm: 0 Thành viên, 0 Thành viên ẩn danh và 0 Khách viếng thăm
Đang truy cập Diễn Đàn này: Không