1, Chứng minh rằng: tổng các lập phương của ba số nguyên chia hết cho 6 khi và chỉ khi tổng 3 số đó chia hết cho 6
2, Cho 2 số lẽ có hiệu các lập phương chia hết cho 8, chứng minh hiệu hai số đó cũng chia hết cho 8
3, Chứng minh rằng: nếu bình phương thiếu của tổng hai số nguyên chia hết cho 9 thì tích hai số đó cũng chia hết cho 9
4, Chứng minh rằng: tổng các lập phương của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 9
5, Chứng minh rằng: $ n^5-5n^3+4n $ chia hết cho 120 với mọi số nguyên n
6, Chứng minh rằng: $ n^3+3n^2+n+3 $ chia hết cho 48 với mọi số lẻ n
7, Chứng minh rằng: $ n^4+4n^3-4n^2+16n $ chia hết chi 384 với mọi số nguyên n
8, Chứng minh rằng: với mọi số nguyên n thì $ n^2+11n+39 $ không chia hết cho 49
9, Chứng minh rằng: $ n(n+1)(n+2)+1 $ là một số chính phương với mọi số tự nhiên n
10, Chứng minh rằng: với mọi số tự nhiên $ n>1 $:

$\quad$ a, $ n^4 +4 $ là hợp số,
$\quad$ b, $ n^4+4k^4 $ là hợp số (k là số tự nhiên)

11, Tính giá trị của biểu thức $ (1+ab-b^4)(a^4+1) $ với $ a=2^7, b=5 $
12, Số $ 2^32+1 $ có phải là số nguyên tố không?
13, Tìm số có 3 chữ số sao cho khi chia nó cho 11 được thương bằng tổng các chữ số bị chia.

Bài 1:
Ta có: $a^{3}+b^{3}+c^{3}-(a+b+c)=a(a-1)(a+1)+b(b-1)(b+1)+c(c-1)(c+1)\vdots 6$ (đpcm)
Bài 2:
C1:Gọi hai số lẻ đó là a,b. Do a,b là số lẻ nên dễ dàng chứng minh được $a^{2}-b^{2}$ chia hết cho 8.
Kết hợp với đề đã cho => dpcm
C2: sử dụng $a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$ để CM.
Bài 3:
Gọi 2 số nguyên đó là a,b ta có :
$a^2+ab+b^2\vdots 9$
$(a-b)^2+3ab\vdots 9$$\Rightarrow (a-b)^2+3ab\vdots 3$
Ta có : $3ab$ chia hết cho 3 $\Rightarrow (a-b)^2\vdots 3$ $\Rightarrow a-b\vdots 3\Rightarrow (a-b)^2\vdots 9\Rightarrow 3ab\vdots 9\Rightarrow ab\vdots 3$
ab chia hết cho 3 nên có 1 số chia hết cho 3.
Mà a-b chia hết cho 3 nên 2 số có cùng số dư khi chia cho 3.
Vậy a,b chia hết cho 3 hay $ab\vdots 9
Bài 4: Xét cã giá trị của x
+) Với x= 0 (TM)
+) Với x= k (TM)
+) Với x= k + 1 (TM)
+) Với x = k - 1 (TM)
k là số nguyên
p/s: Tạm thời đến đây...