$P=5(a^2+b^2+c^2)-(a+b+\sqrt{2}c)^2-\sqrt{\dfrac{(a+b)^2}{2}+c^2}$

Phó Tư Lệnh

Nhóm : ĐHV Tổng Hợp
Tổng số bài gửi : 168
Điểm viết bài : 393
Điểm nội dung : 103
Tuổi : 22
Đến từ : The Earth

Posted Fri Nov 06, 2015 9:58 pm

Cho $a, b, c> 0$ thoả mãn $(a+b)^{2}+2c^{2}\geq 2$. Tìm GTNN:
$P=5(a^2+b^2+c^2)-(a+b+\sqrt{2}c)^2-\sqrt{\dfrac{(a+b)^2}{2}+c^2}$

Phó Tư Lệnh

Nhóm : ĐHV Tổng Hợp
Tổng số bài gửi : 25
Điểm viết bài : 65
Điểm nội dung : 36
Tuổi : 22
Đến từ : THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp - Quảng Bình

Posted Sat Nov 07, 2015 2:17 pm

๖ۣۜTFM_๖ۣۜDragon đã viết:Cho $a, b, c> 0$ thoả mãn $(a+b)^{2}+2c^{2}\geq 2$. Tìm GTNN:
$P=5(a^2+b^2+c^2)-(a+b+\sqrt{2}c)^2-\sqrt{\dfrac{(a+b)^2}{2}+c^2}$

Ta có :
$$P\geq 5\left [\dfrac{(a+b)^2}{2}+c^2\right ]-2\left [(a+b)^2+2c^2\right ]-\sqrt{\dfrac{(a+b)^2}{2}+c^2}$$
$$=\left [\dfrac{(a+b)^2}{2}+c^2\right ]-\sqrt{\dfrac{(a+b)^2}{2}+c^2}$$
Đặt $t=\sqrt{\dfrac{(a+b)^2}{2}+c^2}\geq 1$ thì $P\geq t^2-t=t(t-1)\geq 0$
Vậy $P_{min}=0$ khi $a=b=\dfrac{1}{2}$ và $c=\dfrac{1}{\sqrt 2}$

Sign In

$P=5(a^2+b^2+c^2)-(a+b+\sqrt{2}c)^2-\sqrt{\dfrac{(a+b)^2}{2}+c^2}$

๖ۣۜTFM_๖ۣۜDragon

hoanglong2k