Trang Chính
Posted Thu Nov 12, 2015 1:42 pm
Topic này được lập ra để chúng ta có thể thử sức với đề thi IMO 2015. Mong các bạn ủng hộ và thảo luận sôi nổi trong Topic
Ngày 1: 10/7/2015
Bài 1. Cho $S$ là một tập hữu hạn các điểm trên mặt phẳng. Tập $S$ được gọi là "cân bằng" nếu với với hai điểm $A,B$ phân biệt bất kì thuộc $S$ thì luôn tồn tại điểm $C$ thuộc $S$ thoả mãn $AC=BC$. Tập $S$ được gọi là "không tâm" nếu với bất kì ba điểm phân biệt $A,B,C$ thuộc $S$ thì không có điểm $P$ nào thoả mãn $PA=PB=PC$.
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n≥3$, tồn tại một tập "cân bằng" với $n$ điểm.
b) Tìm tất cả số nguyên $n≥3$, sao cho tồn tại một tập "cân bằng" và "không tâm" cho $n$ điểm.
Bài 2. Tìm mọi số nguyên dương $(a,b,c)$ thoả mãn $ab−c,bc−a,ca−b$ đều là luỹ thừa của 2.
Bài 3. Cho tam giác nhọn $ABC, AB>AC$ có đường tròn ngoại tiếp $Γ$, trực tâm $H$ và chân đường cao $F$ hạ từ $A$. $M$ là trung điểm $BC$. $Q$ là điểm trên $Γ$ thoả mãn $∠HQA=90∘$, và $K$ là điểm trên $Γ$ sao cho $∠HKQ=90∘$. $A,B,C,K,Q$ là các điểm phân biệt, và chúng nằm trên $Γ$ theo đúng thứ tự đó. Chứng minh rằng đường tròn ngoai tiếp hai tam giác $KQH$ và $FKM$ tiếp xúc với nhau.
Ngày 2: 11/7/2015
Bài 4. Tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $Ω$ có tâm $O$. Một đường tròn $Γ$ với tâm $A$ cắt cạnh $BC$ tại $D$ và $E$ sao cho $B,D,E,C$ phân biệt và nằm trên đường thẳng $BC$ theo đúng thứ tự này. $F,G$ là giao điểm của $Ω$ và $Γ$ sao cho $A,F,B,C,G$ nằm trên $Ω$ theo đúng thứ tự này. $K$ là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp $△BDF$ và cạnh $AB$. $L$ là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp $△CGE$ và cạnh $CA$.
Giả sử đường thẳng $FK$ và $GL$ phân biệt và cắt nhau tại $X$. Chứng minh rằng $X$ nằm trên đường thẳng $AO$.
Bài 5. Kí hiệu $R$ là tập các số thực. Xác định tất cả các hàm số $f:R→R$ thoả mãn
$f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)$
với mọi số thực $x,y$.
Bài 6. Cho dãy $a_{1},a_{2},⋯$ các số nguyên thoả mãn điều kiện sau:
(i) $1≤a_{j}≤2015$ với mọi $j≥1$;
(ii) $k+a_{k}≠l+a_{l}$ với mọi $1\leq k< l$.
Chứng minh rằng tồn tại hai số nguyên dương $b$ và $N$ thoả mãn
$\left | \sum_{j=m+1}^n(a_j-b) \right | \le 1007^2$
với mọi số nguyên $m,n$ thoả mãn $n>m≥N$.
