Diễn đàn Trung học Phổ Thông

CHÚ Ý : Các thành viên tham gia Diễn đàn Trung học Phổ Thông cần đọc kĩ cách đặt tiêu đề,cách gõ $\LaTeX$ đúng quy định.

You are not connected. Please login or register

 
 

Đề thi IMO 2015

Thông điệp (Trang 1 trong tổng số 1 trang)

#1

๖ۣۜTFM_๖ۣۜDragon

๖ۣۜTFM_๖ۣۜDragon
 
Phó Tư Lệnh
Phó Tư Lệnh

Posted Thu Nov 12, 2015 1:42 pm

 

Topic này được lập ra để chúng ta có thể thử sức với đề thi IMO 2015. Mong các bạn ủng hộ và thảo luận sôi nổi trong Topic

Ngày 1: 10/7/2015

Bài 1. Cho $S$ là một tập hữu hạn các điểm trên mặt phẳng. Tập $S$ được gọi là "cân bằng" nếu với với hai điểm $A,B$ phân biệt bất kì thuộc $S$ thì luôn tồn tại điểm $C$ thuộc $S$ thoả mãn $AC=BC$. Tập $S$ được gọi là "không tâm" nếu với bất kì ba điểm phân biệt $A,B,C$ thuộc $S$ thì không có điểm $P$ nào thoả mãn $PA=PB=PC$.
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n≥3$, tồn tại một tập "cân bằng" với $n$ điểm.
b) Tìm tất cả số nguyên $n≥3$, sao cho tồn tại một tập "cân bằng" và "không tâm" cho $n$ điểm.

Bài 2. Tìm mọi số nguyên dương $(a,b,c)$ thoả mãn $ab−c,bc−a,ca−b$ đều là luỹ thừa của 2.

Bài 3. Cho tam giác nhọn $ABC, AB>AC$ có đường tròn ngoại tiếp $Γ$, trực tâm $H$ và chân đường cao $F$ hạ từ $A$. $M$ là trung điểm $BC$. $Q$ là điểm trên $Γ$ thoả mãn $∠HQA=90∘$, và $K$ là điểm trên $Γ$ sao cho $∠HKQ=90∘$. $A,B,C,K,Q$ là các điểm phân biệt, và chúng nằm trên $Γ$ theo đúng thứ tự đó. Chứng minh rằng đường tròn ngoai tiếp hai tam giác $KQH$ và $FKM$ tiếp xúc với nhau.

Ngày 2: 11/7/2015

Bài 4. Tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $Ω$ có tâm $O$. Một đường tròn $Γ$ với tâm $A$ cắt cạnh $BC$ tại $D$ và $E$ sao cho $B,D,E,C$ phân biệt và nằm trên đường thẳng $BC$ theo đúng thứ tự này. $F,G$ là giao điểm của $Ω$ và $Γ$ sao cho $A,F,B,C,G$ nằm trên $Ω$ theo đúng thứ tự này. $K$ là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp $△BDF$ và cạnh $AB$. $L$ là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp $△CGE$ và cạnh $CA$.

Giả sử đường thẳng $FK$ và $GL$ phân biệt và cắt nhau tại $X$. Chứng minh rằng $X$ nằm trên đường thẳng $AO$.

Bài 5. Kí hiệu $R$ là tập các số thực. Xác định tất cả các hàm số $f:R→R$ thoả mãn
$f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)$
với mọi số thực $x,y$.

Bài 6. Cho dãy $a_{1},a_{2},⋯$ các số nguyên thoả mãn điều kiện sau:

(i) $1≤a_{j}≤2015$ với mọi $j≥1$;
(ii) $k+a_{k}≠l+a_{l}$ với mọi $1\leq k< l$.

Chứng minh rằng tồn tại hai số nguyên dương $b$ và $N$ thoả mãn
$\left | \sum_{j=m+1}^n(a_j-b) \right | \le 1007^2$
với mọi số nguyên $m,n$ thoả mãn $n>m≥N$.

Nguồn: VMF



Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.
#2

Trần Anh Tuấn

Trần Anh Tuấn
 
Hạ Sĩ
Hạ Sĩ

Posted Sat Nov 14, 2015 10:10 am

 

tình hình là chưa làm được bài nào mong MOD khởi động lại TOPIC



Chiều sâu là tâm hồn con người




Thông điệp (Trang 1 trong tổng số 1 trang)


  • Total Posts:
  • Total Members:
  • Newest Member:
  • Most Online: Số người truy cập cùng lúc nhiều nhất là 61 người, vào ngày Sat Jul 29, 2017 12:27 pm

Hiện có 0 người đang truy cập Diễn Đàn, gồm: 0 Thành viên, 0 Thành viên ẩn danh và 0 Khách viếng thăm
Đang truy cập Diễn Đàn này: Không