Nhiều cách giải cho một phương trình vô tỉ

Chủ yếu đề cập đến phương trình dạng $a{x^2} + bx + c = k\sqrt {dx + e}     (*)$. Trong đó b, c, k, d, e ∈ ℝ, a là số hữu tỉ khác không

Cách 1:
Trong tạp chí 442 tháng 4 năm 2014 của tác giả Lưu Văn Biển – Trần Văn Tới có giới thiệu cách giải phương trình này
Ta sẽ đưa phương trình (*) về dạng: ${(mx + n)^2} + k(mx + n) = (dx + e) + k\sqrt {dx + e}      (**)$
Đồng nhất thức phương trình (*) và phương trình (**) ta được hệ sau:
$\left\{ \begin{array}{l}
{m^2} = a\\
2mn + km = b + d\\
{n^2} + kn = c + e
\end{array} \right.$
Từ đó ta tìm được m, n

Phương pháp giải là: Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = mx + n\\
v = \sqrt {dx + e}
\end{array} \right.$

Cách 2:
Phương trình đã cho có dạng $\sqrt A  = B$

Cách 3:
Biến đổi phương trình đã cho về dạng ${A^2} = {B^2}$

Cách 4:
Đưa phương trình đã cho về hệ phương trình đối xứng loại 2

Cách 5:
Nhân biểu thức liên hợp

Ví dụ bài toán: ${x^2} - 4x - 3 = \sqrt {x + 5} (1)$

Cách 1:
Phân tích: ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}
{m^2} = 1\\
2mn + m =  - 3\\
{n^2} + n = 2
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = 1\\
n =  - 2
\end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l}
m =  - 1\\
n = 1
\end{array} \right.$
Do đó phương trình (1) tương đương ${(1 - x)^2} + (1 - x) = (x + 5) + \sqrt {x + 5} $
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = 1 - x\\
v = \sqrt {x + 5}
\end{array} \right.$, $(v \ge 0)$
Khi đó, ta được ${u^2} + u = {v^2} + v \Leftrightarrow (u - v)(u + v + 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
u = v\\
u =  - v - 1
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sqrt {x + 5}  = 1 - x\\
\sqrt {x + 5}  = x - 2
\end{array} \right.$

Giải phương trình đó ta được nghiệm $x =  - 1$, $x = \dfrac{{5 + \sqrt {29} }}{2}$

Cách 2:
Phương trình (1) $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 4x - 3 \ge 0\\
{({x^2} - 4x - 3)^2} = x + 5
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \le 2 - \sqrt 7  \vee x \ge 2 + \sqrt 7 \\
{x^4} - 8{x^3} + 10{x^2} + 23x + 4 = 0
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \le 2 - \sqrt 7  \vee x \ge 2 + \sqrt 7 \\
({x^2} - 5x - 1)({x^2} - 3x - 4) = 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow x =  - 1$ hoặc $x = \dfrac{{5 + \sqrt {29} }}{2}$

Cách 3:
Phương trình (1) $ \Leftrightarrow {x^2} - 3x + \dfrac{9}{4} = \sqrt {x + 5}  + x + 5 + \dfrac{1}{4}$ $ \Leftrightarrow {\left( {x - \dfrac{3}{2}} \right)^2} = {\left( {\sqrt {x + 5}  + \dfrac{1}{2}} \right)^2}$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sqrt {x + 5}  = x - 2\\
\sqrt {x + 5}  = 1 - x
\end{array} \right.$ (giống với phương trình trên cách 1)
Ta được nghiệm như trên

Cách 4:
Đặt: $y - 2 = \sqrt {x + 5} $, $(y \ge 2)$
Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}
{(y - 2)^2} = x + 5\\
{x^2} - 4x - 3 = y - 2
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{y^2} - 4y - x = 1\\
{x^2} - 4x - y = 1
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow \left( {{y^2} - {x^2}} \right) - 3\left( {y - x} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {y - x} \right)\left( {y + x - 3} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = x\\
y = 3 - x
\end{array} \right.$
• Với $y = x$, suy ra $\sqrt {x + 5}  = x - 2$
• Với $y = 3 - x$, suy ra $\sqrt {x + 5}  = 1 - x$
Từ đó suy ra nghiệm của phương trình (giống phương trình trên)

Cách 5:
Điều kiện phương trình là $x \ge  - 5$
Phương trình (1) $ \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 5 = \sqrt {x + 5}  - 2$ $ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 5} \right) = \dfrac{{(x + 1)}}{{\sqrt {x + 5}  + 2}}$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  - 1\\
\left( {x - 5} \right)\left( {\sqrt {x + 5}  + 2} \right) = 1
\end{array} \right.\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{(thoa)}\\
{}&{(2)}
\end{array}$
Kết hợp (2) với (1) ta được hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}
\left( {x - 5} \right)\left( {\sqrt {x + 5}  + 2} \right) = 1\\
{x^2} - 4x - 3 = \sqrt {x + 5}
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left( {x - 5} \right)\left( {{x^2} - 4x - 1} \right) = 1$
$ \Leftrightarrow {x^3} - 9{x^2} + 19x + 4 = 0$ $ \Leftrightarrow (x - 4)({x^2} - 5x - 1) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 4\\
x = \dfrac{{5 \pm \sqrt {29} }}{2}
\end{array} \right.$
Thử lại thì phương trình (2) có nghiệm $x = \dfrac{{5 + \sqrt {29} }}{2}$
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm $x =  - 1$, \$x = \dfrac{{5 + \sqrt {29} }}{2}$

Sau đây xin bạn đọc giải một số bài toán:
\[\begin{array}{*{20}{c}}
{1)}&{2{x^2} - 6x - 1 = \sqrt {4x + 5} }
\end{array}\]
\[\begin{array}{*{20}{c}}
{2)}&{\sqrt {2x - 1}  + {x^2} - 3x + 1 = 0}
\end{array}\]
\[\begin{array}{*{20}{c}}
{3)}&{3{{\left( {3{x^2} + 6x - 3} \right)}^2} = x + 7}
\end{array}\]
\[\begin{array}{*{20}{c}}
{4)}&{4{x^2} + \sqrt {3x + 1}  + 5 = 13x}
\end{array}\]
\[\begin{array}{*{20}{c}}
{5)}&{{x^2} + 4x = \sqrt {x + 6} }
\end{array}\]
\[\begin{array}{*{20}{c}}
{6)}&{8{{\left( {{x^2} + 2x} \right)}^2} = x + 3}
\end{array}\]
\[\begin{array}{*{20}{c}}
{7)}&{9{x^2} + 12x - 2 = \sqrt {3x + 8} }
\end{array}\]
\[\begin{array}{*{20}{c}}
{8/}&{4{x^2} + 4x - 3 = \sqrt {2x + 5} }
\end{array}\]
\[\begin{array}{*{20}{c}}
{9)}&{18{x^2} + 6x - 29 = \sqrt {12x + 61} }
\end{array}\]
\[\begin{array}{*{20}{c}}
{10)}&{{x^2} - 2x = 2\sqrt {2x - 1} }
\end{array}\]

Trương Đàm Thái Vinh đã viết:Nhiều cách giải cho một phương trình vô tỉ

Chủ yếu đề cập đến phương trình dạng $a{x^2} + bx + c = k\sqrt {dx + e}     (*)$. Trong đó b, c, k, d, e ∈ ℝ, a là số hữu tỉ khác không

Cách 1:
Trong tạp chí 442 tháng 4 năm 2014 của tác giả Lưu Văn Biển – Trần Văn Tới có giới thiệu cách giải phương trình này
Ta sẽ đưa phương trình (*) về dạng: ${(mx + n)^2} + k(mx + n) = (dx + e) + k\sqrt {dx + e}      (**)$
Đồng nhất thức phương trình (*) và phương trình (**) ta được hệ sau:
$\left\{ \begin{array}{l}
{m^2} = a\\
2mn + km = b + d\\
{n^2} + kn = c + e
\end{array} \right.$
Từ đó ta tìm được m, n

Phương pháp giải là: Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = mx + n\\
v = \sqrt {dx + e}
\end{array} \right.$

Cách 2:
Phương trình đã cho có dạng $\sqrt A  = B$

Cách 3:
Biến đổi phương trình đã cho về dạng ${A^2} = {B^2}$

Cách 4:
Đưa phương trình đã cho về hệ phương trình đối xứng loại 2

Cách 5:
Nhân biểu thức liên hợp

Ví dụ bài toán: ${x^2} - 4x - 3 = \sqrt {x + 5} (1)$

Cách 1:
Phân tích: ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}
{m^2} = 1\\
2mn + m =  - 3\\
{n^2} + n = 2
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = 1\\
n =  - 2
\end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l}
m =  - 1\\
n = 1
\end{array} \right.$
Do đó phương trình (1) tương đương ${(1 - x)^2} + (1 - x) = (x + 5) + \sqrt {x + 5} $
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = 1 - x\\
v = \sqrt {x + 5}
\end{array} \right.$, $(v \ge 0)$
Khi đó, ta được ${u^2} + u = {v^2} + v \Leftrightarrow (u - v)(u + v + 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
u = v\\
u =  - v - 1
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sqrt {x + 5}  = 1 - x\\
\sqrt {x + 5}  = x - 2
\end{array} \right.$

Giải phương trình đó ta được nghiệm $x =  - 1$, $x = \dfrac{{5 + \sqrt {29} }}{2}$

Cách 2:
Phương trình (1) $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 4x - 3 \ge 0\\
{({x^2} - 4x - 3)^2} = x + 5
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \le 2 - \sqrt 7  \vee x \ge 2 + \sqrt 7 \\
{x^4} - 8{x^3} + 10{x^2} + 23x + 4 = 0
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \le 2 - \sqrt 7  \vee x \ge 2 + \sqrt 7 \\
({x^2} - 5x - 1)({x^2} - 3x - 4) = 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow x =  - 1$ hoặc $x = \dfrac{{5 + \sqrt {29} }}{2}$

Cách 3:
Phương trình (1) $ \Leftrightarrow {x^2} - 3x + \dfrac{9}{4} = \sqrt {x + 5}  + x + 5 + \dfrac{1}{4}$ $ \Leftrightarrow {\left( {x - \dfrac{3}{2}} \right)^2} = {\left( {\sqrt {x + 5}  + \dfrac{1}{2}} \right)^2}$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sqrt {x + 5}  = x - 2\\
\sqrt {x + 5}  = 1 - x
\end{array} \right.$ (giống với phương trình trên cách 1)
Ta được nghiệm như trên

Cách 4:
Đặt: $y - 2 = \sqrt {x + 5} $, $(y \ge 2)$
Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}
{(y - 2)^2} = x + 5\\
{x^2} - 4x - 3 = y - 2
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{y^2} - 4y - x = 1\\
{x^2} - 4x - y = 1
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow \left( {{y^2} - {x^2}} \right) - 3\left( {y - x} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {y - x} \right)\left( {y + x - 3} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = x\\
y = 3 - x
\end{array} \right.$
• Với $y = x$, suy ra $\sqrt {x + 5}  = x - 2$
• Với $y = 3 - x$, suy ra $\sqrt {x + 5}  = 1 - x$
Từ đó suy ra nghiệm của phương trình (giống phương trình trên)

Cách 5:
Điều kiện phương trình là $x \ge  - 5$
Phương trình (1) $ \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 5 = \sqrt {x + 5}  - 2$ $ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 5} \right) = \dfrac{{(x + 1)}}{{\sqrt {x + 5}  + 2}}$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  - 1\\
\left( {x - 5} \right)\left( {\sqrt {x + 5}  + 2} \right) = 1
\end{array} \right.\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{(thoa)}\\
{}&{(2)}
\end{array}$
Kết hợp (2) với (1) ta được hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}
\left( {x - 5} \right)\left( {\sqrt {x + 5}  + 2} \right) = 1\\
{x^2} - 4x - 3 = \sqrt {x + 5}
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left( {x - 5} \right)\left( {{x^2} - 4x - 1} \right) = 1$
$ \Leftrightarrow {x^3} - 9{x^2} + 19x + 4 = 0$ $ \Leftrightarrow (x - 4)({x^2} - 5x - 1) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 4\\
x = \dfrac{{5 \pm \sqrt {29} }}{2}
\end{array} \right.$
Thử lại thì phương trình (2) có nghiệm $x = \dfrac{{5 + \sqrt {29} }}{2}$
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm $x =  - 1$, \$x = \dfrac{{5 + \sqrt {29} }}{2}$

Sau đây xin bạn đọc giải một số bài toán:
\[\begin{array}{*{20}{c}}
{1)}&{2{x^2} - 6x - 1 = \sqrt {4x + 5} }
\end{array}\]
\[\begin{array}{*{20}{c}}
{2)}&{\sqrt {2x - 1}  + {x^2} - 3x + 1 = 0}
\end{array}\]
\[\begin{array}{*{20}{c}}
{3)}&{3{{\left( {3{x^2} + 6x - 3} \right)}^2} = x + 7}
\end{array}\]
\[\begin{array}{*{20}{c}}
{4)}&{4{x^2} + \sqrt {3x + 1}  + 5 = 13x}
\end{array}\]
\[\begin{array}{*{20}{c}}
{5)}&{{x^2} + 4x = \sqrt {x + 6} }
\end{array}\]
\[\begin{array}{*{20}{c}}
{6)}&{8{{\left( {{x^2} + 2x} \right)}^2} = x + 3}
\end{array}\]
\[\begin{array}{*{20}{c}}
{7)}&{9{x^2} + 12x - 2 = \sqrt {3x + 8} }
\end{array}\]
\[\begin{array}{*{20}{c}}
{8/}&{4{x^2} + 4x - 3 = \sqrt {2x + 5} }
\end{array}\]
\[\begin{array}{*{20}{c}}
{9)}&{18{x^2} + 6x - 29 = \sqrt {12x + 61} }
\end{array}\]
\[\begin{array}{*{20}{c}}
{10)}&{{x^2} - 2x = 2\sqrt {2x - 1} }
\end{array}\]