Diễn đàn Trung học Phổ Thông

CHÚ Ý : Các thành viên tham gia Diễn đàn Trung học Phổ Thông cần đọc kĩ cách đặt tiêu đề,cách gõ $\LaTeX$ đúng quy định.

You are not connected. Please login or register

 
 

Đề thi đề xuất chọn HSG duyên hải và đồng bằng Bắc Bộ 2014 -Chuyên Vĩnh Phúc

Thông điệp (Trang 1 trong tổng số 1 trang)

#1

viet nam in my heart

viet nam in my heart
 
Phó Tư Lệnh
Phó Tư Lệnh

Posted Wed Oct 07, 2015 9:53 pm

 

Bài 1 (4,0 điểm) Giải hệ phương trình trên tập số thực:
$$\left\{\begin{matrix}  2{x^3} + {y^3} + 2{x^2} + {y^2} = xy(2x + 3y + 4) &\\ \dfrac{{{x^2} + 1}}{y} + \dfrac{{{y^2} + 1}}{x} = \dfrac{{10}}{3} \end{matrix}\right.$$
Bài 2 (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn $ABC$ không cân nội tiếp đường tròn $(O)$, có đường cao $AH$ và tâm đường tròn nội tiếp là $I$. Đường thẳng $AI$ cắt lại đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai $M$. Gọi $A'$ là điểm đối xứng với $A$ qua $O$. Đường thẳng $MA'$ cắt các đường thẳng $AH$, $BC$ theo thứ tự tại $N$ và $K$.
1) Chứng minh rằng tứ giác $NHIK$ nội tiếp đường tròn.
2) Đường thẳng $A'I$ cắt lại đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai $D$, hai đường thẳng $AD$ và $BC$ cắt nhau tại điểm $S$. Chứng minh rằng nếu $AB + AC = 2BC$ thì $I$ là trọng tâm của tam giác $AKS$.
Bài 3 (4,0 điểm) Cho hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ ($\mathbb{R}$ là tập số thực) thỏa mãn $f\left( {f(x)} \right) = {x^3} + \frac{3}{4}x$ với mọi $x \in \mathbb{R} $. Chứng minh rằng tồn tại 3 số số thực phân biệt $a,b,c$ sao cho $f(a) + f(b) + f(c) = 0$
Bài 4 (4,0 điểm) Cho các số   không âm sao cho tổng hai số bất kì đều dương. Chứng minh rằng: $$\sqrt {\dfrac{a}{{b + c}}}  + \sqrt {\dfrac{b}{{a + c}}}  + \sqrt {\dfrac{c}{{a + b}}}  + \dfrac{{9\sqrt {ab + bc + ca} }}{{a + b + c}} \ge 6$$
Bài 5 (4,0 điểm) Tìm tất cả các số $k$ nguyên dương sao cho tồn tại $2014$ số nguyên dương phân biệt thỏa mãn tổng của $2014$ số này chia hết cho tổng của $k$ số phân biệt bất kỳ trong $2014$ số đó.

#2

viet nam in my heart

viet nam in my heart
 
Phó Tư Lệnh
Phó Tư Lệnh

Posted Fri Oct 09, 2015 8:25 pm

 

@Đinh Xuân Hùng đã viết:Hình như bài bất có vấn đề mình chứng minh mà nó lại không xảy ra dấu bằng nó chỉ lớn hơn 6.Có ai tìm được dấu bằng bài này chưa
Bất đẳng thức đồng bậc ở cả 2 vế. Mình nếu 1 ví dụ về dấu bằng đó là $(a;b;c) = \left( {\dfrac{{7 + 3\sqrt 5 }}{2};1;0} \right)$

#3

Đinh Xuân Hùng

Đinh Xuân Hùng
 
Người sáng lập ra Diễn đàn THPT
Người sáng lập ra Diễn đàn THPT

Posted Fri Oct 09, 2015 10:30 pm

 

@viet nam in my heart đã viết:
Bài 4 (4,0 điểm) Cho các số   không âm sao cho tổng hai số bất kì đều dương. Chứng minh rằng: $$\sqrt {\dfrac{a}{{b + c}}}  + \sqrt {\dfrac{b}{{a + c}}}  + \sqrt {\dfrac{c}{{a + b}}}  + \dfrac{{9\sqrt {ab + bc + ca} }}{{a + b + c}} \ge 6$$

Đặt $P=\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{a+c}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}+\dfrac{9\sqrt{ab+bc+ac}}{a+b+c}$

Giả sử:$a\geq b\geq c\Rightarrow \sqrt{\dfrac{ab}{a+c}}+\sqrt{\dfrac{ac}{a+b}}\geq \sqrt{\dfrac{b.b}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{c.c}{c+b}}=\sqrt{b+c}$

$\Rightarrow \sqrt{\dfrac{b}{a+c}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\geq \sqrt{\dfrac{b+c}{a}}$

Đặt $t=b+c\Rightarrow P\geq \sqrt{\dfrac{a}{t}}+\sqrt{\frac{t}{a}}+\dfrac{9\sqrt{at}}{a+t}$

Ta có:$\sqrt{\dfrac{a}{t}}+\sqrt{\dfrac{t}{a}}+\dfrac{9\sqrt{at}}{a+t}=\dfrac{a+t}{\sqrt{at}}+\dfrac{9\sqrt{at}}{a+t}\geq 6$



https://diendanthpt.forumvi.com


#4

Sponsored content


 

Posted

 





Thông điệp (Trang 1 trong tổng số 1 trang)


  • Total Posts:
  • Total Members:
  • Newest Member:
  • Most Online: Số người truy cập cùng lúc nhiều nhất là 61 người, vào ngày Sat Jul 29, 2017 12:27 pm

Hiện có 0 người đang truy cập Diễn Đàn, gồm: 0 Thành viên, 0 Thành viên ẩn danh và 0 Khách viếng thăm
Đang truy cập Diễn Đàn này: Không