$\dfrac{1}{2}\sum \dfrac{3a+bc}{a+bc}$

Hạ Sĩ

Nhóm : ĐHV Toán Học
Tổng số bài gửi : 56
Điểm viết bài : 115
Điểm nội dung : 41
Tuổi : 24
Đến từ : THCS-THPT NGHI SƠN

Posted Thu Oct 08, 2015 10:16 am

Cho $a,b,c >0$ thõa mãn : $a+b+c=1$. Tìm MAX : $\dfrac{1}{2} \sum \dfrac{3a+bc}{a+bc}$

Thành viên mới

Nhóm : Thành Viên
Tổng số bài gửi : 4
Điểm viết bài : 11
Điểm nội dung : 5
Tuổi : 25
Đến từ : Trường THPT Chuyên Hưng Yên

Posted Sat Oct 10, 2015 3:24 pm

Trần Anh Tuấn đã viết:Cho $a,b,c >0$ thõa mãn : $a+b+c=1$. Tìm MAX : $\dfrac{1}{2} \sum \dfrac{3a+bc}{a+bc}$

Đặt $A=\dfrac{1}{2}\sum \dfrac{3a+bc}{a+bc}$
$\Rightarrow A-\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}\sum \dfrac{2a}{a+bc}=\dfrac{1}{2}\sum \dfrac{2a}{a(a+b+c)+bc}=\frac{1}{2}\sum \dfrac{2a}{(a+b)(a+c)}=\sum \dfrac{a}{(a+b)(c+a)}=\dfrac{2(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
Mà $a+b+c=1$ nên $A- \dfrac{3}{2}=\dfrac{2(a+b+c)(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
Lại có $(a+b+c)(ab+bc+ca)\leq \dfrac{9}{8}(a+b)(b+c)(c+a)$ (dùng AM-GM)
=>$A-\dfrac{3}{2}\leq 2.\dfrac{9}{8}\Leftrightarrow A\leq \dfrac{15}{4}$
Dấu bằng xảy ra <=> $a=b=c=1/3$

Sign In

$\dfrac{1}{2}\sum \dfrac{3a+bc}{a+bc}$

Trần Anh Tuấn

Chung Anh