Diễn đàn Trung học Phổ Thông

CHÚ Ý : Các thành viên tham gia Diễn đàn Trung học Phổ Thông cần đọc kĩ cách đặt tiêu đề,cách gõ $\LaTeX$ đúng quy định.

You are not connected. Please login or register

 
 

$\dfrac{1}{2}\sum \dfrac{3a+bc}{a+bc}$

Thông điệp (Trang 1 trong tổng số 1 trang)

#1

Trần Anh Tuấn

Trần Anh Tuấn
 
Hạ Sĩ
Hạ Sĩ

Posted Thu Oct 08, 2015 10:16 am

 

Cho $a,b,c >0$ thõa mãn : $a+b+c=1$. Tìm MAX : $\dfrac{1}{2} \sum \dfrac{3a+bc}{a+bc}$





#2

Chung Anh

Chung Anh
 
Thành viên mới
Thành viên mới

Posted Sat Oct 10, 2015 3:24 pm

 

Trần Anh Tuấn đã viết:Cho $a,b,c >0$ thõa mãn : $a+b+c=1$. Tìm MAX : $\dfrac{1}{2} \sum \dfrac{3a+bc}{a+bc}$
Đặt $A=\dfrac{1}{2}\sum \dfrac{3a+bc}{a+bc}$
$\Rightarrow A-\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}\sum \dfrac{2a}{a+bc}=\dfrac{1}{2}\sum \dfrac{2a}{a(a+b+c)+bc}=\frac{1}{2}\sum \dfrac{2a}{(a+b)(a+c)}=\sum \dfrac{a}{(a+b)(c+a)}=\dfrac{2(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
Mà $a+b+c=1$ nên $A- \dfrac{3}{2}=\dfrac{2(a+b+c)(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
Lại có $(a+b+c)(ab+bc+ca)\leq \dfrac{9}{8}(a+b)(b+c)(c+a)$ (dùng AM-GM)
=>$A-\dfrac{3}{2}\leq 2.\dfrac{9}{8}\Leftrightarrow A\leq \dfrac{15}{4}$
Dấu bằng xảy ra <=> $a=b=c=1/3$



Love wind
Love wolf

Thông điệp (Trang 1 trong tổng số 1 trang)


  • Total Posts:
  • Total Members:
  • Newest Member:
  • Most Online: Số người truy cập cùng lúc nhiều nhất là 61 người, vào ngày Sat Jul 29, 2017 12:27 pm

Hiện có 0 người đang truy cập Diễn Đàn, gồm: 0 Thành viên, 0 Thành viên ẩn danh và 0 Khách viếng thăm
Đang truy cập Diễn Đàn này: Không