$a^2+b^2+c^2+2abc+1\geq 2(ab+bc+ac)$

Hạ Sĩ

Nhóm : ĐHV Toán Học
Tổng số bài gửi : 56
Điểm viết bài : 115
Điểm nội dung : 41
Tuổi : 24
Đến từ : THCS-THPT NGHI SƠN

Posted Thu Oct 08, 2015 1:34 pm

Cho a,b,c dương. CMR
$a^2+b^2+c^2+2abc+1\geq 2(ab+bc+ac)$

Thành viên mới

Tổng số bài gửi : 2
Điểm viết bài : 5
Điểm nội dung : 3

Posted Thu Oct 08, 2015 2:44 pm

tuannongtinh19992000 đã viết:Cho a,b,c dương. CMR
$a^2+b^2+c^2+2abc+1>=2(ab+bc+ca)$

Đây là một bài toán ko khó. Chỉ cần sử dụng bất đẳng thức Schur:

$a^2+b^2+c^2+\dfrac{9abc}{a+b+c} \geq 2(ab+ac+bc)$ với chú ý là :

$abc+1+1 \geq 3\sqrt[3]{abc} \geq \dfrac{9abc}{a+b+c}$

Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c=1$

Phó Tư Lệnh

Nhóm : ĐHV Tổng Hợp
Tổng số bài gửi : 25
Điểm viết bài : 65
Điểm nội dung : 36
Tuổi : 23
Đến từ : THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp - Quảng Bình

Posted Sat Oct 10, 2015 4:32 am

Trần Anh Tuấn đã viết:Cho a,b,c dương. CMR
$a^2+b^2+c^2+2abc+1\geq 2(ab+bc+ac)$

Theo nguyên tắc Dirichlet giả sử $(a-1)(b-1)\geq 0\Leftrightarrow c(a-1)(b-1)\geq 0\Leftrightarrow 2abc\geq 2ab+2ac-2c$
Nên ta chỉ cần chứng minh $a^2+b^2+c^2+1\geq 2ab+2c\Leftrightarrow (a-b)^2+(c-1)^2\geq 0$

Posted

$a^2+b^2+c^2+2abc+1\geq 2(ab+bc+ac)$

Trần Anh Tuấn

namthemaster1234

hoanglong2k

Sponsored content

Sign In

$a^2+b^2+c^2+2abc+1\geq 2(ab+bc+ac)$

Trần Anh Tuấn

namthemaster1234

hoanglong2k

Sponsored content