$\dfrac{b^2}{(ab+2)(2ab+1)}+\dfrac{c^2}{(bc+2)(2bc+1)}+\dfrac{a^2}{(ac+2)(2ac+1)} \geq \dfrac{1}{3}$

Người sáng lập ra Diễn đàn THPT

Nhóm : Quản Trị
Tổng số bài gửi : 142
Điểm viết bài : 418
Điểm nội dung : 136
Tuổi : 25
Đến từ : THPT Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình

Posted Sat Oct 10, 2015 4:56 pm

Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1.CMR:$\dfrac{b^2}{(ab+2)(2ab+1)}+\dfrac{c^2}{(bc+2)(2bc+1)}+\dfrac{a^2}{(ac+2)(2ac+1)} \geq \dfrac{1}{3}$

Được sửa bởi Đinh Xuân Hùng ngày Sun Oct 11, 2015 10:13 am; sửa lần 2. (Reason for editing : Sửa lại đề)

Hạ Sĩ

Nhóm : ĐHV Toán Học
Tổng số bài gửi : 56
Điểm viết bài : 115
Điểm nội dung : 41
Tuổi : 25
Đến từ : THCS-THPT NGHI SƠN

Posted Sat Oct 10, 2015 7:49 pm

xin điểm rơi

Phó Tư Lệnh

Nhóm : ĐHV Tổng Hợp
Tổng số bài gửi : 25
Điểm viết bài : 65
Điểm nội dung : 36
Tuổi : 24
Đến từ : THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp - Quảng Bình

Posted Mon Oct 12, 2015 5:25 am

Đinh Xuân Hùng đã viết:Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1.CMR:$\dfrac{b^2}{(ab+2)(2ab+1)}+\dfrac{c^2}{(bc+2)(2bc+1)}+\dfrac{a^2}{(ac+2)(2ac+1)} \geq \dfrac{1}{3}$

Từ điều kiện đặt $a=\dfrac{x}{y};b=\dfrac{y}{z};c=\dfrac{z}{x}$
BĐT tương đương : $\sum \dfrac{x^2}{(y+2z)(2y+z)}\geq \dfrac{1}{3}$
Giả sử $x\geq y\geq z$ thì ta cũng có $(y+2z)(2y+z)\leq (x+2z)(2x+z)\leq (x+2y)(2x+y)$
Áp dụng BĐT Chebyshev ta có :
$\sum \dfrac{x^2}{(y+2z)(2y+z)}\geq \dfrac{1}{3}.\sum x^2.\sum \dfrac{1}{2y^2+5yz+2z^2}\geq \dfrac{1}{3}.\sum x^2.\dfrac{9}{4\sum x^2+5\sum xy}\geq \dfrac{1}{3}.\sum x^2.\dfrac{9}{9\sum x^2}=\dfrac{1}{3}$
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z$ hay $a=b=c=1$

Được sửa bởi hoanglong2k ngày Tue Oct 13, 2015 12:25 am; sửa lần 2.

Hạ Sĩ

Nhóm : ĐHV Toán Học
Tổng số bài gửi : 56
Điểm viết bài : 115
Điểm nội dung : 41
Tuổi : 25
Đến từ : THCS-THPT NGHI SƠN

Posted Mon Oct 12, 2015 11:37 am

Đặt:$a=\dfrac { x }{ y } ,b=\dfrac { y }{ z } ,c=\dfrac { z }{ x } $.
BĐT $\Leftrightarrow \sum \dfrac { x^2}{ (y+2z)(2y+z)} \geq \sum \dfrac {4x^2}{ 9(y+z)^2} \ge \dfrac {2x^2 }{ 9(y^2+z^2) } \ge \dfrac { 2 }{ 9 } .\dfrac { 3 }{ 2 } =\dfrac { 1 }{ 3 }$ (Bất đẳng thức Nesbitt)

Được sửa bởi viet nam in my heart ngày Mon Oct 12, 2015 12:48 pm; sửa lần 7. (Reason for editing : Sai latex quá nhiều)

Posted

$\dfrac{b^2}{(ab+2)(2ab+1)}+\dfrac{c^2}{(bc+2)(2bc+1)}+\dfrac{a^2}{(ac+2)(2ac+1)} \geq \dfrac{1}{3}$

Đinh Xuân Hùng

Trần Anh Tuấn

hoanglong2k

Trần Anh Tuấn

Sponsored content

Sign In

$\dfrac{b^2}{(ab+2)(2ab+1)}+\dfrac{c^2}{(bc+2)(2bc+1)}+\dfrac{a^2}{(ac+2)(2ac+1)} \geq \dfrac{1}{3}$

Đinh Xuân Hùng

Trần Anh Tuấn

hoanglong2k

Trần Anh Tuấn

Sponsored content