1. Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng :
$$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq \frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}$$
2. Cho $a,b,c\geq 0$ trong đó không có hai số nào đồng thời bằng $0$ và số thực $k$ thoả mãn $3^k\geq 2^{k+1}$. Chứng minh rằng :
$$\frac{1}{a^k+b^k}+\frac{1}{b^k+c^k}+\frac{1}{c^k+a^k}\geq \frac{5.2^{k-1}}{(a+b+c)^k}$$
3. Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh :
$$8\left (a^3+b^3+c^3\right )+12 \geq (a+b+c)\left [\left (2\sqrt[3]{abc}+1\right )^2+3\right ]$$
4. Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=1$. Tìm GTNN của biểu thức :
$$M=\frac{(a+b)(a^2+b^2+1-ab)}{(a+1)(b+1)}+\frac{4c}{\displaystyle{\frac{2}{c}+\sqrt{2\left ( \frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2} \right )}}}$$
5. ( Cấm chuẩn hoá ) Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng :
$$\sqrt{(a+b+c)^3}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) \geq 3\sqrt{3}(ab+bc+ac)$$
 
6. Cho các số thực dương $a,b,c$ . Chứng minh rằng :
$$\frac{a^3}{b^2+8c^2}+\frac{b^3}{c^2+8a^2}+\frac{c^3}{a^2+8b^2}+4\left [ \frac{a^2b^2}{(8a+b)(c^2+ab)}+\frac{b^2c^2}{(8b+c)(a^2+bc)}+\frac{c^2a^2}{(8c+a)(b^2+ca)} \right ]\geq \frac{a^3+b^3+c^3}{ a^2+b^2+c^2}$$
7. Cho a,b,c là các số thực không âm. Tìm hằng số $k$ lớn nhất để bất đẳng thức sau đây luôn đúng :
$$\frac{ab}{(a+b)^2+kc^2}+\frac{bc}{(b+c)^2+ka^2}+\frac{ca}{(c+a)^2+kb^2}\leq \frac{3}{4+k}$$

p/s : Cái tiêu đề ko nổi $\LaTeX$ là sao