Chứng minh rằng :
1. $\sqrt{a} + \sqrt[3]{a} + \sqrt[6]{a} \leq a + 2$ trong đó $a \geq 0$  
2. $\sqrt[4]{\left ( a + 1 \right )\left ( b + 4 \right )\left ( c - 2 \right )\left ( d - 3 \right )} \leq a + b + c + d$ với $a \geq -1 , b \geq -4 , c \geq 2 , d > 3$
3. $x^{2} + y^{2} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \geq 2\left ( \sqrt{x} + \sqrt{y} \right )$ với $x, y > 0$
4. $\dfrac{a}{b + c + 1} + \dfrac{b}{a + c + 1} + \dfrac{c}{a + b + 1} + \left ( 1 - a \right )\left ( 1 - b \right )\left ( 1 - c \right ) \leq 1$ với $0 \leq a, b, c \leq 1$

3. BĐT <=> $(x^{2}-2\sqrt{x}+\frac{1}{x})+(y^{2}-2\sqrt{y}+\frac{1}{y})\geq 0$
<=> $(x-\frac{1}{\sqrt{x}})^{2}+(y-\frac{1}{\sqrt{y}})^{2}\geq 0$ hiển nhiên đúng
Vậy bđt được chứng minh :!:

câu  2 bạn cosi bốn số là được nhé

4. $\dfrac{a}{b + c + 1} + \dfrac{b}{a + c + 1} + \dfrac{c}{a + b + 1} + \left ( 1 - a \right )\left ( 1 - b \right )\left ( 1 - c \right ) \leq 1$ với $0 \leq a, b, c \leq 1$


Gs $c=max\left \{ a;b;c \right \}$
$\Rightarrow (1-a)(1-b)(1+a+b)\leq (\frac{1-a+1-b+1+a+b}{3})^{3} = 1$
$\Rightarrow (1-a)(1-b)(1-c)\leq \frac{1-c}{1+a+b}$
Mà $\frac{a}{b+c+1}\leq \frac{a}{a+b+1}, \frac{b}{c+a+1}\leq \frac{b}{a+b+1}$
$\Rightarrow A\leq \frac{a+b+1-c+c}{a+b+1}=1$

1. Áp dụng BĐT Cauchy ta có
   $\frac{1}{2}a$ + $\frac{1}{2}$ $\geqslant$ $\sqrt{a}$
   $\frac{1}{3}a$ + $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{3}$ $\geqslant$ $\sqrt[3]{a}$
   $\frac{1}{6}a$ + $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$+ $\frac{1}{6}$+ $\frac{1}{6}$+ $\frac{1}{6}$ $\geqslant$ $\sqrt[6]{a}$
   Cộng vào ta có đpcm