$y = \sqrt[4]{1 - x^{2}} + \sqrt[4]{1

Phó Tư Lệnh

Nhóm : ĐHV Tổng Hợp
Tổng số bài gửi : 168
Điểm viết bài : 393
Điểm nội dung : 103
Tuổi : 24
Đến từ : The Earth

Posted Wed Oct 14, 2015 5:47 pm

Tìm GTNN, GTLN của hàm số:
$y = \sqrt[4]{1 - x^{2}} + \sqrt[4]{1 - x} + \sqrt[4]{1 + x}$

Binh Nhất

Tổng số bài gửi : 13
Điểm viết bài : 51
Điểm nội dung : 18
Tuổi : 24
Đến từ : THPT chuyên KHTN

Posted Thu Oct 15, 2015 3:22 pm

ĐK: $\left |x \right |$ $\leqslant$ $1$.
Dễ thấy $\sqrt[4]{1-x} + \sqrt[4]{1+x} \geqslant \sqrt[4]{(1-x)+(1+x)} = \sqrt[4]{2}$
-> $y = \sqrt[4]{1-x^2} + \sqrt[4]{1-x} + \sqrt[4]{1+x}$
$\geqslant \sqrt[4]{1-1^2} + \sqrt[4]{2}$
$= \sqrt[4]{2}$
Đẳng thức xảy ra <=> $x = \pm 1$

Áp dụng BĐT Cauchy ta có $\sqrt[4]{1-x} \leqslant \frac{1-x+1+1+1}{4} = 1 - \frac{x}{4}$
$\sqrt[4]{1+x} \leqslant \frac{1+x+1+1+1}{4} = 1 + \frac{x}{4}$

-> $y = \sqrt[4]{1-x^2} + \sqrt[4]{1-x} + \sqrt[4]{1+x}$
$\leqslant \sqrt[4]{1-0^2} + 1 - \frac{x}{4} + 1 + \frac{x}{4}$
$= 3$
Đẳng thức xảy ra <=> $x = 0$

$y = \sqrt[4]{1 - x^{2}} + \sqrt[4]{1 - x} + \sqrt[4]{1 + x}$

๖ۣۜTFM_๖ۣۜDragon

zandichip

Sign In

$y = \sqrt[4]{1 - x^{2}} + \sqrt[4]{1 - x} + \sqrt[4]{1 + x}$

๖ۣۜTFM_๖ۣۜDragon

zandichip