Vòng 1 (1989 - 1990)
Bài 1.
Giải phương trình
$cos^{1990}x - sin^{1990}x=1$

Bài 2.
Xét tam giác $ABC$ trên một mặt phẳng $P$ đã cho. Một đường thẳng $d$ đi qua $A$ và tạo với các đường thẳng $AB,BC,CA$ thành những góc bằng nhau. Gọi $S$ là một điểm trên $d$ ($S\neq A$) và $H,I$ lần lượt là trực tâm của các tam giác $ABC,SBC$
a) Chứng minh rằng đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $P$.
b) Chứng minh rằng đường thẳng $HI$ vuông góc với mặt phẳng $(SBC)$
c) Tìm vị trí của $S$ sao cho khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng $P$ là lớn nhất có thể có được.

Bài 3.
Cho một tam giác $ABC$ trên một mặt phẳng $P$.
Hãy dựng điểm $M$ sao cho các góc $AMB, BMC, CMA$ đều là góc vuông.

Bài 4.
Xét dãy số dương tăng $a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{1990}$ trong đó $a_{1990}<1$. Hãy so sánh $log_{\frac{1}{1989}}(a_{1}+a_{2}+...+a_{1989})$ với $log_{\frac{1}{1990}}(a_{1}+a_{2}+...+a_{1990})$

$cos^{1990}x-sin^{1990}x=1\Leftrightarrow cos^{1990}x=sin^{1990}x+1$
$f(x)=cos^{1990}x,g(x)=1+sin^{1990}x$ lần lượt có TXĐ là $Y_{f}=[0;1],Y_g=[1;2]\Rightarrow Y_{f}\cap Y_g=1\Rightarrow f(x)=g(x)=1\Rightarrow sinx=0$