Bài 1 (4,0 điểm) Giải hệ phương trình trên tập số thực:
$$\left\{\begin{matrix}  2{x^3} + {y^3} + 2{x^2} + {y^2} = xy(2x + 3y + 4) &\\ \dfrac{{{x^2} + 1}}{y} + \dfrac{{{y^2} + 1}}{x} = \dfrac{{10}}{3} \end{matrix}\right.$$
Bài 2 (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn $ABC$ không cân nội tiếp đường tròn $(O)$, có đường cao $AH$ và tâm đường tròn nội tiếp là $I$. Đường thẳng $AI$ cắt lại đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai $M$. Gọi $A'$ là điểm đối xứng với $A$ qua $O$. Đường thẳng $MA'$ cắt các đường thẳng $AH$, $BC$ theo thứ tự tại $N$ và $K$.
1) Chứng minh rằng tứ giác $NHIK$ nội tiếp đường tròn.
2) Đường thẳng $A'I$ cắt lại đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai $D$, hai đường thẳng $AD$ và $BC$ cắt nhau tại điểm $S$. Chứng minh rằng nếu $AB + AC = 2BC$ thì $I$ là trọng tâm của tam giác $AKS$.
Bài 3 (4,0 điểm) Cho hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ ($\mathbb{R}$ là tập số thực) thỏa mãn $f\left( {f(x)} \right) = {x^3} + \frac{3}{4}x$ với mọi $x \in \mathbb{R} $. Chứng minh rằng tồn tại 3 số số thực phân biệt $a,b,c$ sao cho $f(a) + f(b) + f(c) = 0$
Bài 4 (4,0 điểm) Cho các số   không âm sao cho tổng hai số bất kì đều dương. Chứng minh rằng: $$\sqrt {\dfrac{a}{{b + c}}}  + \sqrt {\dfrac{b}{{a + c}}}  + \sqrt {\dfrac{c}{{a + b}}}  + \dfrac{{9\sqrt {ab + bc + ca} }}{{a + b + c}} \ge 6$$
Bài 5 (4,0 điểm) Tìm tất cả các số $k$ nguyên dương sao cho tồn tại $2014$ số nguyên dương phân biệt thỏa mãn tổng của $2014$ số này chia hết cho tổng của $k$ số phân biệt bất kỳ trong $2014$ số đó.

Đinh Xuân Hùng đã viết:Hình như bài bất có vấn đề mình chứng minh mà nó lại không xảy ra dấu bằng nó chỉ lớn hơn 6.Có ai tìm được dấu bằng bài này chưa

viet nam in my heart đã viết:
Bài 4 (4,0 điểm) Cho các số   không âm sao cho tổng hai số bất kì đều dương. Chứng minh rằng: $$\sqrt {\dfrac{a}{{b + c}}}  + \sqrt {\dfrac{b}{{a + c}}}  + \sqrt {\dfrac{c}{{a + b}}}  + \dfrac{{9\sqrt {ab + bc + ca} }}{{a + b + c}} \ge 6$$