Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ ngoại tiếp $(I)$. Kẻ đường cao $AH$. $(I)$ tiếp xúc $BC$ tại$ D$.Đường tròn đương kính $AI$ giao $(O),AH$ tại $M,N$. CMR $M,N,D$ thẳng hàng.

Bổ đề:Cho tam giác ABC nội tiếp (O) là ngoại tiếp (I).gọi AS là đường kính,giao điểm SI với (O) là M thì ta có MD là phân giác góc BMC.
Chứng minh:gọi (I) giao AB và AC là X và Y.Dễ dàng chứng minh được tam giác MBX đồng dạng tam giác MYC===>MB/MC=BD/DC==>MD là phân giác góc BMC.
Quay trở lại bài toán,ta sẽ chứng minh NMI=DMI.gọi AS là đường kính của (O) thì ta có S,I,M thẳng hàng.ta có NMI=HAI=(BAC/2)-SAC.Áp dụng bổ đề trên ta có DMI=(BMC/2)-SAC=(BAC/2)-SAC suy ra NMI=DMI suy ra M,N,D thẳng hàng[dpcm]