Nguyen duy khuong đã viết:Cho tam giác ABC. CMR:
$CosA+CosB+CosC\leq $$\dfrac{3}{2}$

Ta có :
$S=cosA+cosB+cosC=2cos\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}-cos(A+B)\Rightarrow S=2cos\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}-2cos^{2}\frac{A+B}{2}+1$
Đặt : $X=\frac{A+B}{2}$
$\Rightarrow S=-2X^{2}+2cos\frac{A-B}{2}X+1\Rightarrow -2X^{2}+2cos\frac{A-B}{2}X-S+1=0$
Vì : $X=cos\frac{A+B}{2}$ tồn tại $\Leftrightarrow \Delta '> 0$
$\Leftrightarrow cos^{2}\frac{A-B}{2}-2S+2> 0\Leftrightarrow 2S\leq cos^{2}\frac{A-B}{2}+2\leq 3\Leftrightarrow S\leq \frac{3}{2}$
Vậy :
$cosA+cosB+cosC\leq \frac{3}{2}$ $(đpcm)$

Nguyen duy khuong đã viết:Cho tam giác ABC. CMR:
$CosA+CosB+CosC\leq $$\dfrac{3}{2}$

Cách $2$
$\Leftrightarrow 2 cos\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}+1-2sin^2\frac{C}{2}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow 4sin^2\frac{C}{2}-4sin\frac{C}{2}cos\frac{A-B}{2}+1\geq 0\Leftrightarrow (2sin\frac{C}{2}-cos\frac{A-B}{2})^2+sin^2\frac{A-B}{2}\geq 0$ ( Luôn đúng )

Nguyen duy khuong đã viết:Cho tam giác ABC. CMR:
$CosA+CosB+CosC\leq $$\dfrac{3}{2}$

Cách $3$
Lấy các vecto đơn vị $\vec{e_{1}} , \vec{e_{2}} , \vec{e_{3}}$ sao cho các vecto này lần lượt cùng hướng với các vecto $\vec{BC} , \vec{CA} , \vec{AB}$
Ta có : $(\vec{e_{1}} + \vec{e_{2}} + \vec{e_{3}})^{2} \geq 0$
$ \Rightarrow \vec{e_{1}}^{2} + \vec{e_{2}}^2 + \vec{e_{3}}^{2} + 2(\vec{e_{1}}\vec{e_{2}} + \vec{e_{2}}\vec{e_{3}} + \vec{e_{3}}\vec{e_{1}}) \geq 0$
$ \Rightarrow 3 - 2 ( CosA + CosB + CosC) \geq 0$