$a\sqrt[3]{1+b-c}+b\sqrt[3]{1+c-a}+c\sqrt[3]{1+a-b}\leq 1$

Phó Tư Lệnh

Nhóm : ĐHV Tổng Hợp
Tổng số bài gửi : 168
Điểm viết bài : 393
Điểm nội dung : 103
Tuổi : 22
Đến từ : The Earth

Posted Sun Nov 08, 2015 8:22 pm

Cho $a, b, c> 0$. CMR:
$a\sqrt[3]{1+b-c}+b\sqrt[3]{1+c-a}+c\sqrt[3]{1+a-b}\leq 1$

Phó Tư Lệnh

Nhóm : ĐHV Tổng Hợp
Tổng số bài gửi : 118
Điểm viết bài : 287
Điểm nội dung : 145
Tuổi : 22
Đến từ : 10AK31 - THPT Hồng Lĩnh

Posted Sun Nov 08, 2015 9:50 pm

Ta có:
$a\sqrt[3]{1+b-c}=a\sqrt[3]{a+b+c+b-c}=a\sqrt[3]{(a+2b).1.1}\leq a\dfrac{a+2b+1+1}{3}=\dfrac{a^2+2ab+2a}{3}$
Tương tự
$\Rightarrow \sum a\sqrt[3]{1+b-c}\leq \dfrac{(a+b+c)^2+2(a+b+c)}{3}=1$
Dấu $"="\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}$

$a\sqrt[3]{1+b-c}+b\sqrt[3]{1+c-a}+c\sqrt[3]{1+a-b}\leq 1$

๖ۣۜTFM_๖ۣۜDragon

Trần Lộc Nguyên

Sign In

$a\sqrt[3]{1+b-c}+b\sqrt[3]{1+c-a}+c\sqrt[3]{1+a-b}\leq 1$

๖ۣۜTFM_๖ۣۜDragon

Trần Lộc Nguyên